Pizza Fractal

Áreas - Desafios

Da figura ao lado, sabe-se que:

• as retas $AB$, $BC$ e $AC$ são tangentes ao círculo;
• as retas $AB$, $BC$ são perpendiculares;
• $\overline{BC}=15\text{  }cm^{2}$.
• a área do triângulo $\left[ABC\right]$ é $60$ $cm^{2}$;

Qual a área do círculo?

Ciência no Cinema

Dois filmes a não perder no início de 2015:

• O Jogo da Imitação;

No inverno de 1952, as autoridades britânicas entraram em casa do matemático, criptoanalista e herói de guerra Alan Turing (Benedict Cumberbatch), para investigar um assalto. Em vez disso, prenderam Turing por "atentado ao pudor". 

Turing, o pioneiro da computação moderna, acabou por ser condenado numa época em que a homossexualidade ainda era crime no Reino Unido.

Em conjunto com um grupo de académicos, linguistas, campeões de xadrez e analistas, reunidos nas instalações ultra-secretas de Bletchley Park, Turing quebrou o até aí indecifrável código da Enigma, a máquina de criptografia utilizada pelos alemães durante a Segunda Guerra Mundial.

Um retrato intenso e memorável de um homem brilhante e complexo e a história de um génio que sob extrema pressão ajudou a encurtar a guerra e a salvar milhares de vidas.

• A Teoria de Tudo;

Um olhar pela relação entre o famoso físico Stephen Hawking e a sua mulher, Jane.

O jogo dos chapéus - Probabilidades e combinatória

Cada um dos três elementos de uma equipa entra sequencialmente dentro de um quarto e é-lhe colocado um chapéu azul ou vermelho.

Um vez dentro do quarto, cada um dos elementos pode ver a cor do chapéu dos outros dois elementos da equipa, mas não pode ver a sua. Os participantes não podem comunicar entre si, seja de que forma for, e cada um tem a opção de tentar acertar ou não na cor do seu chapéu. Se pelo menos uma pessoa acertar na cor do chapéu e os outros dois não falharem, a equipa ganha o jogo.

Qual a melhor estratégia a seguir para que a equipa vença o jogo mais vezes?

O saco das bolas - Probabilidades e combinatória

Um saco contém 16 bolas de bilhar. Umas são brancas e outras são pretas. Duas bolas são extraídas ao mesmo tempo. Sabe-se que a probabilidades de serem extraídas bolas da mesma cor é igual à probabilidade de serem extraídas bolas de cor diferente. Qual poderá ser o número de bolas brancas e pretas dentro do saco?

Monopólio vs Duopólio (matemática e economia) - 2

Depois de na publicação anterior ter discutido a situação em que a empresa $A$ estava no mercado numa situação monopolista, nesta publicação vou discutir o caso em que surge uma empresa $B$ disposta a competir com a empresa $A$ pela venda de um mesmo produto. 

Tal como no caso anterior, também vamos supor que a empresa $B$, tal como a empresa $A$, vende tudo aquilo que produz e que o custo de produção das duas empresas é igual, ou seja, €5. No entanto, agora o preço $p$ vai ter se relacionar com a procura de uma forma diferente porque a oferta de produtos agora não corresponde apenas ao número de produtos produzidos pela empresa $A$, mas corresponde ao número de produtos produzidos pelas empresas $A$ e $B$. Assim, se consideramos $x$ o número de produtos produzidos pela empresa $A$ e $y$ o números de produtos produzidos pela empresa $B$, suponhamos que o preço e a oferta se relacionam da seguinte forma: $$p=\frac{60}{x+y},$$ onde $x$ e $y$ são números inteiros positivos. 

Desta forma, a função lucro da empresa $A$, $\pi_{A}$, é definida da seguinte forma $$\pi_{A}(x,y)= \frac{60}{x+y} \times x-5x,$$ e a função lucro da empresa $B$, $\pi_{B}$, é definida da seguinte forma $$\pi_{B}(x,y)= \frac{60}{x+y} \times y-5y.$$

É importante notar que nesta situação a função lucro de cada uma das empresas não depende apenas das opções que elas tomam relativamente há quantidade de produto que colocam no mercado, mas depende também das opções do seu concorrente. Para não complicar muito a situação pensemos apenas no caso em que as empresas $A$ e $B$ apenas podem escolher entre produzir 1 ou 2 unidades. Recorde-se que produzir 1 unidade era a melhor opção para a empresa A quando estava numa situação monopolista. 

Recorrendo às funções lucro de cada uma das empresas podemos através da seguinte tabela resumir lucros que as empresas terão considerando as possíveis opções as empresas podem fazer.

 

Exemplo: $\pi_{A}(2,1)$ corresponde ao lucro da empresa $A$ se esta optar por produzir duas unidades e a empresa $B$ uma unidade. De modo semelhante, $\pi_{B}(2,1)$ corresponde ao lucro da empresa $B$ se esta optar por produzir uma unidade e a empresa $A$ duas unidade.

E neste caso, caímos num caso semelhante ao do Dilema do Prisioneiro. As empresas obteriam mais lucro se conseguissem coordenar estratégias e produzir uma unidade cada uma, mas como cada uma delas não sabe a opção que a outra vai tomar, a melhor escolha para cada uma delas considerando as possíveis opções da empresa concorrente é fornecerem ao mercado 2 unidades cada uma. O que implica uma redução do preço para €15 e um lucro de €20 para cada uma.

Assim, o resultado final, ilustra como a competição é boa para o consumidor porque permitiu baixar os preço do produto de €60 (preço da situação monopolista) para €15, e para além disso, a oferta deixa de ser de 1 só produto para passar a ser de 4 produtos.

Para as empresas, a passagem para a situação de duopólio implica a redução dos lucros, e inclusivé, a redução do lucro agregado porque as duas juntas só conseguem um lucro de €40, enquanto que numa situação de monopólio uma só empresa tinha um lucro de €55.

Nota: As empresas ainda lucravam mais se vendessem um só produto, agissem como uma única empresa monopolista, e dividissem o lucro. Mas vamos admitir que isso não é possível.

Monopólio vs Duopólio (matemática e economia) - 1

Para quem não está familiarizado com os conceitos de monopólio e de duopólio, diz-se que existe uma situação de monopólio quando só há uma empresa no mercado a fornecer um determinado produto/serviço, de forma semelhante se diz que existe uma situação de duopólio quando existem duas empresas no mercado a competir pela venda de um produto/serviço.

Nas próximas duas publicações o que me proponho discutir, são os efeitos de cada um destes tipos de mercados para as empresas e para os consumidores. No entanto, o que vou fazer não pretende ser uma aplicação prática, mas uma analise de uma formulação teórica simplificada para não afastar o leitor do que é essencial. Na realidade tudo isto é muito mais complexo.

Comecemos por supor que há no mercado apenas uma empresa, a empresa A, a produzir e comercializar um determinado produto. Portanto, estamos nesta primeira fase, numa situação de monopólio. 

Para essa empresa, o custo de produção de cada unidade é de €5. Assim, se o número de unidades produzidas for igual ao número de unidades vendidas e esta empresa quiser vender cada unidade a um preço $p$, em que $p$ é um número positivo, o seu lucro $\pi$ é dado por 

$$\pi = p \times x - 5x$$ 

onde $x$ representa o número de unidades produzidas/vendidas (procura) e é um número inteiro positivo.

Para maximizar o seu lucro a empresa precisa de analisar o mercado e estimar o número de quantidades que vai vender a um determinado preço $p$, ou seja, precisa de relacionar o preço e a procura. Para tal, suponhamos que neste mercado o preço e a procura estão relacionados da seguinte forma $x=\frac{60}{p}$. Note-se que, nesta relação, um aumento do preço implica uma diminuição do número de unidades vendidas (procura) e uma diminuição do preço implica um aumento das unidades vendidas (procura).

Desta forma como,

$$x=\frac{60}{p}=p \text{, ou seja, } p=\frac{60}{x}$$

e $\pi = p \times x - 5x$ então,

$$\pi =\frac{60}{x}\times x-5x=60- 5x$$,

isto é,
$$\pi=60-5x.$$

O que significa que, numa situação de monopólio, a opção que maximiza o lucro da empresa A é produzir 1 unidade, a um preço de €60, obtendo um lucro de €55.

Na próxima publicação irei discutir o caso em que aparece um concorrente no mercado a vender o mesmo produto, uma empresa B, e discutir as suas implicações quer para as empresas, quer para os consumidores, quando comparadas com a situação de monopólio.

Ideias de Xangai

"Ideas from Shanghai"

Dilema do Prisioneiro

Inventado por Merril Flood e Melvin Dresher em 1950 e mais tarde formalizado por Albert Tucker, um dos dilemas mais famosos em Teoria de Jogos é o Dilema do Prisioneiro.

A menos dos nomes, a história é a seguinte:

No distrito de Chicago um crime foi cometido e o procurador distrital, embora não tenha provas suficientes, sabe que ele foi cometido por dois criminosos que, por simplicidade iremos chamar de Ivo e Bruno. No entanto, o procurador apenas os pode condenar se pelo menos um deles confessar o crime. Por esse motivo, ele manda prender os dois criminosos, coloca-os em salas separadas e oferece a cada um deles o seguinte acordo:

• Se tu confessares e o teu cúmplice não confessar, sais em liberdade e o teu cúmplice será condenado à pena máxima de 10 anos de prisão. Mas se o teu cúmplice confessar e tu não confessares, ele sai em liberdade e tu serás condenado a 10 anos de prisão. 
• Se os dois confessarem, ambos serão presos mas não serão condenados à pena máxima por colaborarem com a justiça, ou seja, terão uma pena prisão de 7 anos. 
• Se nenhum confessar, as provas que já foram reunidas são suficientes para atribuir uma pena de 1 ano de prisão a cada um. 

De forma simples, a questão pode resumir-se ao quadro abaixo, onde em cada uma das células o primeiro número corresponde à pena de prisão a atribuir ao Ivo, e o segundo à pena de prisão a atribuir ao Bruno de acordo com as possíveis opções que cada um dos criminosos possam tomar.

Nota: A utilização de números negativos devesse apenas ao facto de a pena de prisão ser uma consequência negativa.

Neste caso, os criminosos confrontam-se com um dilema: confessar ou não confessar?

Analisemos a situação, na perspectiva do Ivo tendo apenas em atenção as consequências do acordo do procurador:

• Se o Bruno não confessar, o Ivo terá uma pena de prisão de 1 ano se não confessar o crime e sairá em liberdade se confessar;
• Se o Bruno confessar, o Ivo terá uma pena de prisão de 10 anos se não confessar o crime e uma pena de prisão de 7 anos se confessar.

A mesma análise pode ser feita para o caso do Bruno. O que significa que, globalmente, tendo em conta a aquilo que o cúmplice pode fazer, para qualquer um dos dois confessar o crime é sempre a melhor opção, mesmo correndo o risco de serem condenados a uma pena de prisão de 7 anos.

E o que este dilema tem de interessante é precisamente isso. É que embora haja a possibilidade de ambos terem uma pena de prisão de um ano, o que seria possível se os criminosos tivessem a possibilidade de coordenar a melhor estratégia para responder ao acordo do procurador e não confessar o crime, não sendo isso possível, a melhor estratégia para os dois é confessar o crime e ser-lhes atribuída uma pena de 7 anos de prisão. 

Como esta, há muitas situações na vida em que nós poderíamos tirar vantagem se fosse possível coordenar a nossa ação com a resposta de outros intervenientes, mas como nem sempre isso é possível, acabamos por tomar a opção que nos coloca numa posição de minimizar perdas, sejam quais forem as escolhas dos outros intervenientes. Mesmo que essa opção nos possa trazer consequências muito negativas.

Agora, é evidente que isto é apenas uma formulação teórica, cada pessoa é uma pessoa e há pessoas mais avessas ao risco que outras, mais cooperantes e menos cooperantes. Além disso, na vida real, muitas vezes uma opção desta natureza pode se tomada considerando o conhecimento que uma pessoa tem da outra. Mas este não deixa de ser uma modelo que acaba por ilustrar muitas situações da vida.  

Teoria de Jogos

John Nash (1928-...)

No nosso dia-a-dia, situações como a definição do preço para um determinado produto, a negociação entre duas pessoas, leilões de produtos na internet, de arte, de imóveis, de empresas, são muito comuns. Em cada um destes casos o objetivo é sempre definir a melhor estratégia de forma a maximizar o ganho e/ou minimizar as perdas.

Por exemplo, na definição do preço de um determinado produto o vendedor quer sempre maximizar o seu lucro. Desta forma, mesmo estando numa posição monopolista no mercado, não pode definir o preço que bem entende porque, se o fizer, pode correr o risco de pedir um preço tão alto que afasta toda a procura. E ainda menos o pode fazer se tiver concorrentes no mercado porque corre o risco dos consumidores preferirem comprar o produto a um concorrente.

Algo semelhante se pode aplicar na negociação entre duas pessoas. Para ilustrar este caso podemos tomar como exemplo a negociação salarial entre os patrões e os representantes dos sindicatos dos trabalhadores de uma empresa. Neste caso, embora os patrões prefiram não aumentar os salários, ou na pior das hipóteses, aumentá-los o menos possível, os representantes dos sindicatos pretendem o contrário. O que significa que, neste caso, nem os patrões podem partir para uma negociação deste tipo com uma proposta de salário muito desvantajosa para os trabalhadores, nem os sindicatos podem exigir um aumento de salário muito elevado, sob pena de se extremarem posições e não se conseguir chegar a um acordo.

Relativamente ao caso dos leilões, o objetivo de quem vende é sempre vender pelo preço mais alto e o objetivo de quem compra é sempre comprar pelo preço mais baixo. Neste caso, o formato de leilão e as regras às quais ele obedece influenciam o resultado final. Por exemplo, num leilão, todos os participantes podem ter acesso às propostas que vão sendo feitas pelos participantes mas, por outro lado, também pode dar-se o caso de ninguém ter conhecimento das propostas que são apresentadas. Com certeza que não é equivalente optar por um modelo de leilão ou por outro. As privatizações do estado são um exemplo de leilão muito em voga nos dias de hoje. Neste caso o estado deverá definir o modelo de leilão que mais se apropria a cada uma das empresas de forma a obter o maior benefício para o contribuinte.

É sobre este tipo de assuntos que se debruça a Teoria de Jogos. A Teoria de Jogos é um ramo da Matemática muito em expansão nos dias de hoje e podemos encontrar estes e outros exemplos da sua aplicação em situações que implicam a definição da melhor estratégia em jogos tão conhecidos como póquer e xadrez, e em muitas áreas do conhecimento como economia, finanças, biologia, sociologia, psicologia, física e antropologia.

Este ramo da Matemática, embora não tenha sido inventado por John Nash (1928-...) e os créditos da sua invenção sejam atribuídos a John von Neumann (1903-1957), foi ele que o expandiu e o dotou de ferramentas suficientemente poderosas para resolver problemas da realidade em várias áreas. O seu trabalho teve uma importância de tal ordem que os feitos matemáticos de Newton e Einstein estão para a física, assim como os de Nash estão para as ciências biológicas e sociais. Em 1994 John Nash partilhou o prémio Nobel da Economia com John Harsanyi e Reihnard Selten.

De salientar que muitos têm sido galardoados com prémios Nobel da economia por trabalhos no ramo da Teoria de Jogos. Ainda este ano, Jean Tirole é exemplo disso, tendo sido galardoado pelo seu trabalho em análise do poder e regulação do mercado. Um tema muito atual e pertinente.

Algumas definições interessantes sobre os números primos.

Primos Gémeos (em inglês, twin primes): São pares de números primos separados por 2 unidades.

Alguns exemplos:

• 3 e 5;
• 5 e 7;
• 11 e 13;
• 17 e 19;
• 29 e 31;
• 41 e 43.

Primos primos (em inglês, cousin primes): São pares de números primos separados por 4 unidades.

Alguns exemplos:

• 3 e 7;
• 7 e 11;
• 13 e 17;
• 19 e 23;
• 37 e 41;
• 43 e 41;
• 67 e 71.

Primos Sexys (em inglês, sexy Primes): São pares de números primos separados por 6 unidades.

Alguns exemplos:

• 5 e 11;
• 7 e 13;
• 11 e 17;
• 13 e 19;
• 17 e 23;
• 23 e 29;
• 31 e 37;
• 37 e 43;
• 41 e 47;
• 47 e 53.

Produto Interno Bruto em Portugal

Na tabela abaixo estão representados os valores do PIB entre os anos de 2010 e 2013, e a sua variação, em percentagem, relativamente ao ano anterior.

Fonte: PORDATA

1. Escreve o valor do PIB de 2012 em notação científica.
   
   
2. Em percentagem, qual o valor da recessão económica que se registou em Portugal em 2012 face a 2011.
   
   
3. Considerando que em 2013 registou-se uma recessão económica de 1,36% face a 2012, qual o valor do PIB em 2013.

Actividade exploratória - Tarifários de telemóvel

No mercado de telecomunicações em Portugal estão disponíveis os três seguintes tarifários pré-pagos para telemóvel:

1. Para uma utilização mensal de 15 dias, com uma utilização diária de 20 minutos de chamadas para dentro da rede e 5 mensagens para outras redes, qual o tarifário mais vantajoso?
2. Identifica as situações em que cada um dos três tarifários pode ser mais vantajoso.
3. Considerando a utilização regular que fazes do teu telemóvel, qual dos três tarifários se adequa mais à tua situação? Justifica a tua resposta.

Critérios de divisibilidade por 2,3 e 5 e decomposição em fatores primos.

Sem recorrer à calculadora, decompõe os seguintes números em fatores primos.

1. 12;
2. 45;
3. 100;
4. 225;
5. 300.

Aplicação em geogebra para o estudo de funções

Uma aplicação em geogebra para o estudo de funções partilhada por Humberto José Bortolossi.

Números Vampiros

Números vampiros foram pela primeira vez definidos por Clifford A. Pickover em 1994.

Definição:

Um número vampiro é um número natural $n$ com um número par de algarismos que pode ser escrito como o produto de dois factores (chamados presas) contendo os mesmos algarismos, o mesmo número de vezes, que os algarismos que constituem $n$.

Exemplos:

• $1260=21\times 60$;
  $1260$ tem $4$ algarismos (um números par).
  $1$, $2$, $6$ e $0$ aparecem o mesmo número de vezes quer em $1260$, quer em $21\times 60$, formando uma igualdade verdadeira.

Da mesma forma,

• $1395=15\times 93$; 
• $1435=35 \times 41$;
• $117067 = 167 \times 701$;
• $124483 = 281 \times 443$.

Lista de alguns números vampiros.

1. 1260
2. 1395
3. 1435
4. 1530
5. 1827
6. 2187
7. 6880
8. 102510
9. 104260
10. 105210
11. 105264
12. 105750
13. 108135
14. 110758
15. 115672
16. 116725
17. 117067
18. 118440
19. 120600
20. 123354
21. 124483
22. 125248
23. 125433
24. 125460
25. 125500
26. 126027
27. 126846
28. 129640 

Também se sabe que:

• com $4$ algarismos há $7$ números vampiros;
• com $6$ algarismos há $148$ números vampiros;
• com $8$ algarismos há $3228$ números vampiros;
• com $10$ algarismos há $108454$ números vampiros;
• com $12$ algarismos há $4390670$ números vampiros;
• com $14$ algarismos há $208423682$ números vampiros.

Máximo Divisor Comum 6º Ano (Exercício 2)

Exercício

Determina dois números inteiros $a$ e $b$, sabendo que $m.d.c.(a,b)=35$ e $a=\frac{2}{3}b$.

Resolução:

Como $m.d.c.(a,b)=35$, em particular sabemos que:

• $35$ divide $a$, ou seja, $a=35\times p$, para algum inteiro $p$;

• $35$ divide $b$, ou seja, $b=35\times q$, para algum inteiro $q$.

Desta forma, como $a=\frac{2}{3} \times b$ e $b=35\times q$ então $a=\frac{2}{3} \times (35\times q)$.

Assim,

• $a=35 \times (\frac{2}{3} \times q)$
• $b=35 \times q$.

O que significa que, tomando $q=3$ para que $a$ seja inteiro, $\frac{2}{3} \times 3=2$ e o $m.d.c.( \frac{2}{3} \times q, q)=m.d.c.(2,3)=1$. Logo, se $q=3$, $m.d.c.(a,b)=35$.

Consequentemente, para $q=3$,

• $a=35 \times (\frac{2}{3} \times 3)=70$;
• $b=35\times 3=105$.

Números e Operações - Desafio 6

Demonstração do Teorema de Pitágoras e sua ilustração geométrica (recorrendo ao Teorema de Tales).

Nesta publicação irá ser feita uma demonstração formal do Teorema de Pitágoras, recorrendo ao Teorema de Tales, juntamente com uma ilustração geométrica dos resultados que vão sendo obtidos. 

Consideremos o triângulo $\left[ABC\right]$ rectângulo em $C$ e $\left[CD\right]$ a sua altura relativamente ao lado $\left[AB\right]$. Sejam $a=\overline{BC}$, $b=\overline{AC}$, $c=\overline{AB}$, $x=\overline{AD}$ e $y=\overline{DB}$.

Passo 1: Concluir que o triângulo $\left[ABC\right]$ é semelhante ao triângulo $\left[ADC\right]$ e que o triângulo $\left[ABC\right]$ é semelhante ao triângulo $\left[BDC \right]$.

• Como o triângulo $\left[ABC\right]$ e o triângulo $\left[ADC\right]$ são ambos rectângulos e têm o ângulo interno do vértice $A$ em comum, pelo critério AA de semelhança de triângulos, os dois triângulos são semelhantes.
• De forma semelhante, como o triângulo $\left[ABC\right]$ e o triângulo $\left[BDC\right]$ são ambos rectângulos e têm o ângulo interno do vértice $B$ em comum, pelo critério AA de semelhança de triângulos, os dois triângulos são semelhantes.

Passo 2: Concluir que $\frac{\overline{AC}}{\overline{AB}}=\frac{\overline{AD}}{\overline{AC}}$ e $\frac{\overline{BC}}{\overline{AB}}=\frac{\overline{DB}}{\overline{BC}}$.

Como pelo passo 1 concluímos que  o triângulo $\left[ABC\right]$ é semelhante ao triângulo $\left[ADC\right]$ e

• $\left[AC\right]$ corresponde a $\left[AB\right]$;
• $\left[AD\right]$ corresponde a $\left[AC\right]$;

então, $$\frac{\overline{AC}}{\overline{AB}}=\frac{\overline{AD}}{\overline{AC}}$$.

De forma semelhante, como pelo passo 1 concluímos que  o triângulo $\left[ABC\right]$ é semelhante ao triângulo $\left[BDC\right]$ e

• $\left[BC\right]$ corresponde a $\left[AB\right]$;
• $\left[DB\right]$ corresponde a $\left[BC\right]$;

então,  $$\frac{\overline{BC}}{\overline{AB}}=\frac{\overline{DB}}{\overline{BC}}$$.

Passo 3: Considerando a figura abaixo: concluir que $b^{2}=x \times c$, ou seja, que a área do quadrado $\left[ACKL\right]$ é igual à área do rectângulo $\left[ADOP\right]$; E concluir que $a^{2}= y \times c$, ou seja, que  a área do quadrado $\left[BCNM\right]$ é igual à área do rectângulo $\left[DBOQ\right]$.

Como pelo passo 2 concluímos que,  $$\frac{\overline{AC}}{\overline{AB}}=\frac{\overline{AD}}{\overline{AC}}$$
então,
$$\frac{b}{c}=\frac{x}{b}.$$ Logo, $b^{2}=x \times c$.

De forma semelhante  como pelo passo 2, concluímos que,  $$\frac{\overline{BC}}{\overline{AB}}=\frac{\overline{DB}}{\overline{BC}}$$
então,
$$\frac{a}{c}=\frac{y}{a}.$$
Logo, $a^{2}=y \times c$.

Passo 4: Concluir que $a^{2}+b^{2}=c^{2}$. Ou seja, que da área dos quadrados que estão sobre os catetos é igual à área do quadrado sobre a hipotenusa.

Depois de realizarmos estes quatro passos, podemos intuitivamente concluir que a soma da área do quadrado $\left[ACKL\right]$ com a área do quadrado $\left[BCNM\right]$ é igual à área do quadrado $\left[ACKL\right]$.
No entanto, sendo mais rigoroso, pelo passo 3, como $b^{2}=x \times c$ e $a^{2}=y \times c$, então

$$a^{2}+b^{2}=y \times c+x \times c=(y+x) \times c =c\times c=c^{2}$$

porque $x+y=c$.

Logo, $a^{2}+b^{2}=c^{2}$.

A seguinte aplicação em Geogebra ilustra na perfeição toda esta demonstração.

Representação em dízima finita de frações.

Representa na forma de dízima as seguintes frações, sem recorrer ao algoritmo da divisão:

1. $\frac{1}{5}$
   Resolução:
   $\frac{1^{(\times 2)}}{5_{(\times 2)}}=\frac{2}{10}=0,2$.
2. $\frac{3}{4}$
   Resolução:
   $\frac{3}{4}=\frac{3^{(\times 5^{2})}}{2^{2}_{(\times 5^{2})}}=\frac{3\times 5^{2}}{2^2 \times 5^{2}}=\frac{75}{100}=0,75$.
   
3. $\frac{7}{50}$
   Resolução:
   $\frac{7}{50}=\frac{7^{(\times2)}}{2 \times 5^{2}_{(\times2)}}=\frac{14}{2^{2} \times 5^{2}}=\frac{14}{100}=0,14$.
4. $\frac{21}{60}$
   Resolução:
   $\frac{21}{60}=\frac{3 \times 7^{(:3)}}{2^{2} \times 3 \times 5_{(:3)}}=\frac{7^{(\times 5)}}{2^{2} \times 5_{(\times 5)}}=\frac{7\times 5}{2^{2} \times 5^{2}}=\frac{35}{100}=0,35$.
5. $\frac{126}{125}$
   Resolução:
   $\frac{126}{125}=1+\frac{1}{125}=1+\frac{1}{5^{3}}=1+\frac{1^{(\times 2^{3})}}{5^{3}_{(\times 2^{3})}}=1+\frac{2^{3}}{2^{3} \times 5^{3}}=1+\frac{8}{1000}=1+0,008=1,008$.
6. Poderá $\frac{6}{70}$ ser representada sob a forma de dízima finita?
   Resolução:
   Como, $\frac{6}{70}=\frac{2 \times 3}{2 \times 5 \times 7}=\frac{3}{5 \times 7}$, podemos observar que $\frac{6}{70}$ quando escrita sob a forma de fração irredutível tem um divisor primo diferente de 2 e de 5 (ou seja, 7).
   Logo, $\frac{6}{70}$ não pode ser escrito sob a forma de dízima finita.

Números e Operações - Desafio 5

Números e Operações - Desafio 4

Propriedades da adição números racionais.

1. Prova que $-(q+r)=(-q)+(-r)$, em que $q$ e $r$ são números racionais.

Por outras palavras, o que queremos provar é que o números racional que devemos somar a $q+r$ para obter $0$ (o elemento neutro da soma de números racionais) é $(-q)+(-r)$. Ou seja, $q+r+(-q)+(-r)=0$.

Como,

$$q+r+(-q)+(-r)=q+(-q)+r+(-r)=0+0=0$$.

1ª igualdade: propriedade comutativa da adição de números racionais.
2ª igualdade: O simétrico de $q$ é $-q$, ou seja, $q+(-q)=0$. O simétrico de $r$ é $-r$, ou seja, $r+(-r)=0$.

Assim, fica provado que,

$$-(q+r)=-q+(-r).$$

Ou então,

$$-(q+r)=-q-r.$$

2. Prova que  $-(q-r)=-q+r$, em que $q$ e $r$ são números racionais.

Podia efectuar um procedimento semelhante ao utilizado na prova do ponto 1. Mas, ao invés, vou optar por efectuar um outro procedimento.

Por meio de igualdades, podemos concluir o seguinte,

$$-(q-r)=-(q+(-r))=-q+(-(-r))=-q+r$$

1ª Igualdade: $q-r=q+(-r)$
2ª Igualdade: $-(q+r)=-q+(-r)$ (Ponto 1.)
3ª Igualdade: $-(-r)=r$

Assim fica provado que $-(q-r)=-q+r$.

Números e Operações - Desafio 3

Números e Operações - Desafio 2

Máximo Divisor Comum (Exercício)-1

O Sr. Zeferino Costa tem um terreno rectangular com 40 m de comprimento e 24 m de largura onde pretende plantar produtos hortícolas. Para distribuir os produtos de forma organizada pelo terreno ele quer dividir o terreno em parcelas quadradas iguais com a maior área possível.

1. Em quantas parcelas deve ele dividir o terreno?
2. Qual a área de cada uma das parcelas de terreno?

Algumas propriedades das operações (revisões 1º Ciclo)

1. Prova que $3 \times \frac{1}{4}=\frac{3 \times 1}{4}$.
Resolução:
Através de igualdades sucessivas, podemos concluir que,

$$ 3 \times \frac{1}{4}= \frac{1}{4}+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=\frac{1+1+1}{4}=\frac{3 \times 1}{4}$$
o que significa que,
$$3 \times \frac{1}{4}=\frac{3 \times 1}{4}.$$

De forma mais geral: Sejam $a$, $b$ e $n$ números naturais,
$$n \times \frac{a}{b}=\frac{n \times a}{b}.$$
 2. Prova que $5:2=\frac{5}{2}.$
Resolução:
Por outras palavras,  por definição de quociente, o que queremos provar é que
$$5=2 \times \frac{5}{2}.$$
Ora, como,
$$ 2 \times \frac{5}{2}=\frac{2 \times 5^{(:2)}}{2_{(:2)}}=5$$
fica provado que,
$$5=2 \times \frac{5}{2}$$
ou seja,
$$5:2=\frac{5}{2}.$$
De forma mais geral: Sejam $a$ e $b$ números naturais,
$$a:b=\frac{a}{b}.$$
3. Prova que $\frac{2}{3}:4=\frac{2}{4 \times 3}.$
Resolução:
Por outras palavras,  por definição de quociente, o que queremos provar é que
$$\frac{2}{3}= 4 \times \frac{2}{4 \times 3}$$
Ora, como,
$$4 \times \frac{2}{4 \times 3}=\frac{4 \times 2^{(:4)}}{4 \times 3_{(:4)}}=\frac{2}{3}$$
fica provado que,
$$\frac{2}{3}= 4 \times \frac{2}{4 \times 3}.$$
ou seja,
$$\frac{2}{3}:4=\frac{2}{4 \times 3}.$$
De forma mais geral: Sejam $a$, $b$ e $n$ números naturais,
$$\frac{a}{b}:n=\frac{a}{n \times b}.$$
4. Prova que $2:3= 2\times \frac{1}{3}.$
Resolução:
Por outras palavras,  por definição de quociente, o que queremos mostrar é que o número que multiplicado por $3$ dá $2$ pode ser dado por $2\times \frac{1}{3}$, ou seja,
$$ 3 \times \left(2 \times \frac{1}{3}\right)=2.$$
Por meio de igualdades sucessivas podemos concluir que,
$$3 \times \left(2 \times \frac{1}{3}\right)=3 \times \left(\frac{2 \times 1}{3}\right)= 3 \times \frac{2}{3}=\frac{3\times 2^{(:3)}}{3_{(:3)}}=2.$$
Assim, como queriamos provar,
$$ 3 \times \left(2 \times \frac{1}{3}\right)=2.$$
Ou seja,
$$2:3= 2\times \frac{1}{3}.$$
De forma mais geral: Sejam $a$ e $n$ números naturais,
$$a:n= a\times \frac{1}{n}.$$
5. Prova que $\frac{3}{7}: \frac{1}{5}= \frac{3}{7}\times 5$
Resolução:
Por outras palavras, por definição de quociente, o que queremos mostrar é que o número que multiplicado por $\frac{1}{5}$ dá $\frac{3}{7}$ pode ser dado por $\frac{3}{7}\times 5$, ou seja,
$$\frac{1}{5} \times \left(\frac{3}{7}\times 5\right)=\frac{3}{7}.$$
Por meio de igualdades sucessivas podemos concluir que,
$$\frac{1}{5} \times \left(\frac{3}{7}\times 5\right)=\frac{1}{5} \times \left(5 \times \frac{3}{7}\right)=\left(\frac{1}{5} \times 5 \right) \times \frac{3}{7}=$$
$$=\left(\frac{1}{5} \times 5 \right) \times \frac{3}{7}=\left(\frac{1\times 5}{5}\right) \times \frac{3}{7}=\left(\frac{5}{5}\right) \times \frac{3}{7}=1 \times \frac{3}{7}=\frac{3}{7}$$
Assim, como queríamos provar,
$$\frac{1}{5} \times \left(\frac{3}{7}\times 5\right)=\frac{3}{7}.$$
Ou seja,
$$\frac{3}{7}: \frac{1}{5}= \frac{3}{7}\times 5.$$
De forma mais geral: Sejam $a$, $b$ e $n$ números naturais, $$\frac{a}{b} : \frac{1}{n}=\frac{a}{b} \times n.$$
Em particular, tomando $b=1$, concluímos que,

$$a : \frac{1}{n}=a \times n.$$

Números e Operações - Desafio 1

Relação entre o produto de dois numeros naturais e o produto do seu mdc e mmc.

Consideremos os números naturais $84$ e $40$.

Por exemplo, através do Algoritmo de Euclides, obtemos que o $m.d.c.(84, 40)=4$. Assim, como $4$ é divisor de $84$ e de $40$ podemos concluir que $84=4 \times 21$ e $40=4 \times 10$. Desta forma, qualquer múltiplo comum a $84$ deve ser múltiplo de $4$ e de $21$, e qualquer múltiplo de $40$ deve ser múltiplo de $4$ e de $10$. O que significa que o mínimo múltiplo comum entre $84$ e $40$ $(m.m.c.(84,40))$ é dado por $4 \times 21 \times 10= 840$. 

Note-se que este último raciocínio apenas é válido porque $m.d.c.(21,10)=1$. Mas, se assim não fosse, $m.d.c.(84,40)$ também não seria $4$.

Ou seja, fazendo um resumo de todos os resultados que obtivemos até ao instante, sabemos que:

1. $m.d.c.(84, 40)=4$;
2. $84=4 \times 21$;
3. $40=4 \times 10$;
4. $m.m.c.(84,40)=4 \times\ 21 \times 10=840$.

Comparemos então o resultado de $84 \times 40$ e de $m.d.c.(84,40) \times m.m.c.(84,40)$:

• $84 \times 40=3360$;
• $m.d.c.(84, 40) \times m.m.c.(84,40)=4 \times 840=3360$.

Será o produto de dois números naturais igual ao produto do seu mínimo múltiplo comum com o seu máximo divisor comum?

Tal como verificamos,

$$
\begin{array}{rclr}
84 \times 40 &=& (4 \times 21) \times (4 \times 10) = & \text{por (2) e (3)}\\
                    &=& 4 \times (4 \times 10 \times 21)= & \text{Prop. comutativa e associativa}\\
                    &=& m.d.c.(84,40) \times m.m.c.(84,40) & \text{por (1) e (4)}

\end{array}
$$

Logo, a partir destas últimas igualdades, penso que é mais fácil acreditar no seguinte resultado mais geral.

Resultado: Sejam $a$ e $b$ números naturais

$$ a \times b=m.d.c.(a,b) \times m.m.c.(a,b).$$

Máximo divisor comum e números primos entre si.

Consideremos os números 28 e 42.

• Os divisores de 28 são 1, 2, 4, 7, 14, 28.
• Os divisores de 42 são 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42.

Desta forma, os divisores comuns entre 28 e 42 são 1, 2, 7, 14. O que significa que $m.d.c.(28, 42)=14$.

Nota: Para calcular o $m.d.c. (28, 42)$ também podíamos recorrer ao Algoritmo de Euclides.

Dividamos agora cada um dos números por $14$ ($m.d.c.$):

$$\frac{28}{14}=\frac{2\times14}{14}=2 \text{ porque } 28=2\times 14$$

$$\frac{42}{14}=\frac{3\times14}{14}=3 \text{ porque } 42=3\times 14.$$

Como $2$ e $3$ são números primos, o único divisor comum aos dois é $1$. O que significa que $m.d.c.(2,3)=1$. Logo, $2$ e $3$ são primos entres si.

Mas será que dividindo dois números pelo seu máximo divisor comum obtemos sempre dois números primos entre si?

Antes de respondermos a esta questão, olhemos para o exemplo acima. Tal como verificamos, os divisores comuns a $28$ e $42$ são $1$, $2$, $7$, e $14$. No entanto, ao dividirmos $28$ e $42$ por $14$ $(m.d.c(28, 42))$, porque $14=2\times7$, estamos a impedir que $\frac{28}{2 \times 7}$ e $\frac{42}{2 \times 7}$ sejam, simultaneamente, divisíveis por $2$, por $7$ e por $14$.

Note-se que, como $\frac{28}{14}=\color{red}{2}$ e $\frac{42}{14}=\color{blue}{3}$:

• $\color{red}{2}$ é divisível por $2$, mas $\color{blue}{3}$ não é divisível por $2$.
• $\color{red}{2}$ não é divisível por $7$ e $\color{blue}{3}$ não é divisível por $7$.
• $\color{red}{2}$ não é divisível por $14$ e $\color{blue}{3}$ não é divisível por $14$.

Assim, o único divisor comum entre $\frac{28}{m.d.c(28, 42)}$ e $\frac{42}{m.d.c.(28, 42)}$ é $1$, o que significa que o máximo divisor comum entre $\frac{28}{m.d.c.(28, 42)}$ e $\frac{42}{m.d.c(28, 42)}$ é $1$.

Logo, $\frac{28}{m.d.c(28, 42)}$ e $\frac{42}{m.d.c(28, 42)}$, são primos entre si.

Resultado: Sejam $a$ e $b$ números naturais quaisquer, $\frac{a}{m.d.c.(a, b)}$ e $\frac{b}{m.d.c.(a, b)}$ são primos entre si.

Há uma infinidade de números primos (intuição) - 2

Comecemos por considerar uma lista com os dois primeiros números primos: o 2 e o 3. Consideremos o número que é formado pela soma da multiplicação destes dois números primos com 1, ou seja, 2×3+1=7. Será este número primo? Sim, porque 7 só é divisível por ele próprio e por 1.

Adicionemos agora 7 à lista de primos. Ou seja, a nossa lista de primos é agora constituída pelos números 2, 3 e 7. De seguida, voltemos a pensar da mesma forma. Será 2×3×7+1=43 primo? Sim, porque 43 só é divisível por ele próprio e por 1.

Adicionemos 43 à lista de primos. Ou seja, a nossa lista de primos é agora constituída pelos números 2, 3, 7 e 43. De seguida, voltemos a pensar da mesma forma. Será 2×3×7×43+1=1807 primo? Ora bem, de facto, como sabemos que 1807 não é divisível por nenhum número primo da nossa lista (porque se efectuarmos a divisão de 1807 por qualquer um dos números primos da nossa lista, obtemos sempre resto 1), só existem duas possibilidades, ou 1807 é primo, ou é um número composto divisível por um primo que está fora da nossa lista. No entanto, 1807 não é primo porque é divisível por 13, que é um número primo que não está na nossa lista. O que significa que encontramos um novo número primo que podemos acrescentar à nossa lista de primos. Desta forma, a nossa a lista passa a ser constituída pelos números, 2, 3, 7, 43 e 13 e podemos repetir o processo estudando se 2x3x7x43x13+1 é primo, e assim encontrar um novo primo para adicionar à nossa lista.

Como posso repetir este processo tantas vezes quantas eu queira, é muito fácil criar uma lista números primos tão grande quanto eu queira, e portanto, não podem existir um número finito de números primos.

Logo, há uma infinidade de números primos.

Há uma Infinidade de números primos (intuição)

Suponhamos que os únicos primos que existiam eram apenas dois: o $2$ e o $3$.

Consideremos o número que é formado pela soma da multiplicação destes dois  números primos com $1$, ou seja, $2\times 3+1=7$. Será este número primo? Sim, porque nem o $2$, nem o $3$, dividem $7$ já que após efectuarmos a divisão de $7$ por qualquer um destes primos obtemos sempre resto $1$, e não $0$.

Adicionemos agora $7$ à lista de primos. Ou seja, a nossa lista de primos é agora constituída pelos números $2$, $3$ e $7$. De seguida, voltemos a pensar da mesma forma. Será $2 \times 3 \times 7+1=43$ primo? Sim, porque $43$ não é divisível por nenhum dos primos da nossa lista. Ao efectuarmos a divisão, obtemos sempre resto $1$.

Adicionemos $43$ à lista de primos. Ou seja, a nossa lista de primos é agora constituída pelos números $2$, $3$, $7$ e  $43$. De seguida, voltemos a pensar da mesma forma. Será $2 \times 3 \times 7\times 43+1=1807$ primo? Sim, porque $1807$ não é divisível por nenhum dos primos da nossa lista. Ao efectuarmos a divisão, obtemos sempre resto $1$.

Como posso repetir este processo tantas vezes quanto eu queira é muito fácil criar uma lista infinita de números primos, e portanto, não podem existir um número finito de números primos.

Conclusão: Há uma infinidade de números primos.

Algoritmo de Euclides (descrição detalhada)

O Algoritmo de Euclides consiste num conjunto de procedimento que permitem de uma forma simples e eficaz de calcular o máximo divisor comum entre dois números naturais, recorrendo ao algoritmo da divisão.

Intuição: Após a aplicação do algoritmo da divisão de dois números naturais, qualquer número que divida o Dividendo ($D$) e o divisor ($d$) também divide o resto ($r$).

Exemplo: Após efectuarmos a divisão de $26$ por $10$ concluímos que $26=10\times 2+6$. Ou seja, neste caso:

• $D=16$
• $d=10$
• $r=6$. 

Como, $1$, $2$, $13$, $26$ dividem $26$ ($D$), e $1$, $2$, $5$, $10$ dividem $10$ ($d$), os divisores comuns a $26$ e $10$ são $1$ e $2$. Mas como facilmente podemos observar, todos os divisores comuns a $26$ e $10$ são também divisores de $6$ ($r$).

Nota: Contudo, o inverso nem sempre é verdade. No exemplo anterior, podemos constatar que $3$ divide $6$ ($r$), e $3$ não divide $10$ ($d$) nem $26$ ($D$).

Mais geralmente, qualquer divisor comum a $D$ e $d$, é divisor comum a $D$, $d$ e $r$, e em particular, é divisor comum apenas de $d$ e $r$.

E é neste último princípio que se baseia o algoritmo de Euclides.

Dados dois números naturais, um maior do que o outro:

1. Aplicamos o algoritmo da divisão considerando $D$ o maior e $d$ o menor para obter $r$.
2. Como os divisores comuns a $D$ e $d$ são os mesmos de $d$ e $r$, voltamos a efectuar o primeiro passo, mas agora aplicando o algoritmo da divisão a $d$ e $r$.
3. Repetimos o passo 2  sucessivamente até obtermos resto 0. Quando isso acontecer, o máximo divisor comum que procuramos é exactamente o último número que consideramos para $d$.

Exemplo: Para ilustrar o que vem sendo referido, calculemos o máximo divisor comum entre $40$ e $30$.

Aplicando o algoritmo da divisão concluímos que $$40=30\times1+10.$$

De seguida, por forma continuarmos o procedimento descrito pelo algoritmo de Euclides, como não obtivemos resto 0, aplicamos ao algoritmo da divisão, mas desta vez, a 30 e 10 concluindo que $$30=10\times 3+\underline{0}.$$ 

Como obtivemos resto $0$ o processo está terminado porque, pelo procedimento que utilizamos, os divisores comuns entre $40$ e $30$, são divisores comuns entre $30$ e $10$, que por sua vez são divisores comuns entre $10$ e $0$. Ora, como qualquer número divide $0$, os divisores comuns entre $40$ e $30$ vão ser, na prática, apenas de os divisores de $10$, que são $1$,$2$,$5$,e $10$. O que significa que o máximo divisor comum entre $40$ e $30$ é $10$ (o último número que consideramos para $d$ na aplicação do algoritmo). Ou seja, em linguagem matemática $m.d.c.(40,30)=10$.

Também pode ver uma ilustração geométrica do algoritmo de Euclides nesta publicação.

Critério de divisibilidade por 9

Nesta publicação vou tentar explorar o critério de divisibilidade por $9$ verificando se $234$ é divisível por $9$ recorrendo a uma possível interpretação geométrica deste critério.

Primeiramente, comecemos por notar que

$$234=200+30+4.$$

O que significa que as $234$ unidade podem corresponder a $234$ quadrículas distribuídas como ilustra a figura abaixo:

Assim, fazendo corresponder a cor das quadrículas à cor com que aparecem escritas na igualdade abaixo, obtemos o seguinte:

$$234=200+30+4=(\color{blue}{9\times2\times11}+\color{red}{2})+(\color{blue}{9\times3}+\color{red}{3})+\color{red}{4}.$$

Ou seja,
$$234=\color{blue}{9\times2\times11}+\color{blue}{9\times3}+\color{red}{2}+\color{red}{3}+\color{red}{4}.$$Ora, como as parcelas a azul são divisíveis por $9$, então $234$ será divisível por $9$ se $\color{red}{2}+\color{red}{3}+\color{red}{4}$ for divisível por $9$. Isto é, se a soma dos algarismo que compõe o número $234$ for divisível por $9$.

Desta forma, como $\color{red}{2}+\color{red}{3}+\color{red}{4}=9$, e $9$ divisível por $9$, podemos concluir que $\underline{234 \text{ é divisível por } 9}$.

Critério: Um número $N$ é divisível por $9$ se e apenas se a soma dos algarismos que o compõe for divisível por $9$.

Algoritmo de Euclides

Recorrendo ao Algoritmo de Euclides, calcula o máximo divisor comum entre 24 e 10.

Resolução:

Utilizando o algoritmo da divisão inteira repetidamente facilmente podemos concluir que:

Logo, o máximo divisor comum entre  $24$ e $10$ é $2$.

Critério de divisibilidade por 4 - Critério 2

Na publicação anterior explorei critério 1 de divisibilidade por 4, onde concluímos que:

Critério 1: Um número $N$ é divisível por $4$ se e apenas se o número formado pelos dois últimos algarismos de for divisível por $4$.

Ou seja, um número ser divisível por $4$ depende apenas de o número formado pelos dois últimos algarismos o ser.
Neste aspecto, o critério $2$ não é diferente e apenas nos descreve uma forma diferente de analisar se o número formado pelos dois últimos algarismos é divisível por $4$.

Então consideremos o número $732$. Será múltiplo de $4$? Como já sabemos, $732$ será múltiplo de $4$ se $32$ o for. No entanto, para este caso, facilmente concluímos que $32$ é múltiplo de $4$ porque $32=4\times8$. Logo, 732 também é múltiplo de 4.

Mas verifiquemos se o $32$ é múltiplo de $4$ observando o caso de outro ângulo.

Como sabemos, $32=30+2=3\times10+2$ isto significa que podemos pensar em 32 unidades distribuídas por $3$ rectângulos de $10$ quadriculas e um rectângulo mais pequeno com apenas duas quadrículas, tal como ilustra a figura abaixo:

Assim, tentando dividir as $32$ quadrículas em rectângulos mais pequenos de $4$ quadrículas, o que obtemos é, por exemplo, o seguinte:

O que significa que, o número $32$ pode ser reescrito como

$$32=4\times 6+ 2\times3+2.$$

Desta forma, para que $32$ seja múltiplo de $4$ basta verificar se a soma do dobro de $3$ (algarismo das dezenas) com $2$ (algarismo das unidades) é múltiplo de $4$. Assim, como $2\times3+2=8$ e $8$ é múltiplo de 4, então 32 é múltiplo de 4. Logo, $732$ também é múltiplo de $4$, assim como por exemplo, $1032$, $7032$, $1232$, $332$, $22222232$, etc.

Critério 2: Um número $N$ é divisível por $4$ se e apenas se o dobro do valor do algarismo das dezenas adicionado ao valor do algarismo das unidades for divisível por $4$.

Critério de divisibilidade por 4 - Critério 1

Ao longo desta publicação vou explorar um dos critérios de divisibilidade por $4$.

Comecemos por explorar o caso em que os algarismos das dezenas e das unidades são simultaneamente zero.

Por exemplo, $100$ é divisível por $4$? Sim, porque $100=4\times25+0$. O que intuitivamente poderá significar que podemos dividir um quadrado constituído por $100$ quadrículas ($10$ quadrículas de lado), em $25$ quadrados mais pequenos de $4$ quadrículas, sem que reste qualquer quadrícula, como por exemplo, mostra a figura abaixo:

E $200$ é divisível por $4$? Sim, porque $200= 2\times100$ e porque se pensarmos em duzentas quadrículas repartidas por $2$ quadrados de $100$ quadrículas cada um, como mostra a figura abaixo, facilmente concluímos que, como que $100$ é divisível por $4$, $200$, também o será. Basta observar que conseguimos dividir as $200$ quadrículas, de forma semelhante ao que foi efectuado no exemplo anterior, em $50$ quadrados mais pequenos de 4 quadrículas cada um, sem que reste nenhuma quadrícula. Ou seja, $200=4\times 50+0$.

E $500$, será divisível por $4$? Sim, porque se $500=5 \times 100$ para justificarmos que $500$ é múltiplo de $4$ podemos utilizar um raciocínio semelhante ao caso anterior, utilizando $5$ quadrados de $100$ quadrículas para concluir que $500=4\times125$.
Ou então podemos efectuar simplesmente, $500=5\times100=5\times4\times25$, porque $100=4\times 25$. Ou seja, $500=4\times (5\times 25)=4\times125$.

E $3000$ é múltiplo de $4$? Claro que sim, porque $3000=30 \times 100$, o que significa que através raciocínios semelhantes aos efectuados anteriormente podemos concluir que $3000=4\times 750$.
Ou então também podemos efectuar simplesmente, $3000=30 \times100=30\times4\times25$, porque $100=4\times 25$. Ou seja, $3000=4 \times (30\times 25)=4\times750$.

Regra: Sempre que um número tenha o algarismo das dezenas e o algarismo das unidades iguais a $0$, o número é divisível por $4$.

A partir daqui, vou-me concentrar em estender a análise a casos em que o algarismos das dezenas e das unidades não são simultaneamente zero.

$216$ será múltiplo de $4$?
Primeiro, observemos que  $216=200+16$. Como já verificamos, $200$ é múltiplo de $4$, $216$ será múltiplo de $4$ se $16$ o for. Mas como $16=4\times 4$, 16 é múltiplo de 4, e então $216$, também o é.

$5077$, será múltiplo de $4$?
Primeiro, observemos que $5077=5000+77$. Como $5000$ é múltiplo de $4$ (porque os algarismos das dezenas e das unidade são simultaneamente zero), $5077$ será múltiplo de $4$ se $77$ o for. No entanto, $77=4\times19+1$. Logo, $77$ não é múltiplo de $4$, o que significa que $5077$ também não o é.

Critério: Um número $N$ é divisível por $4$ se e apenas se o número formado pelos dois últimos algarismos de for divisível por $4$.