Comecemos por considerar uma lista com os dois primeiros números primos:
o 2 e o 3. Consideremos o número que é formado pela soma da
multiplicação destes dois números primos com 1, ou seja, 2×3+1=7. Será
este número primo? Sim, porque 7 só é divisível por ele próprio e por 1.
Adicionemos agora 7 à lista de primos. Ou seja, a nossa lista de primos é agora constituída pelos números 2, 3 e 7. De seguida, voltemos a pensar da mesma forma. Será 2×3×7+1=43 primo? Sim, porque 43 só é divisível por ele próprio e por 1.
Adicionemos 43 à lista de primos. Ou seja, a nossa lista de primos é agora constituída pelos números 2, 3, 7 e 43. De seguida, voltemos a pensar da mesma forma. Será 2×3×7×43+1=1807 primo? Ora bem, de facto, como sabemos que 1807 não é divisível por nenhum número primo da nossa lista (porque se efectuarmos a divisão de 1807 por qualquer um dos números primos da nossa lista, obtemos sempre resto 1), só existem duas possibilidades, ou 1807 é primo, ou é um número composto divisível por um primo que está fora da nossa lista. No entanto, 1807 não é primo porque é divisível por 13, que é um número primo que não está na nossa lista. O que significa que encontramos um novo número primo que podemos acrescentar à nossa lista de primos. Desta forma, a nossa a lista passa a ser constituída pelos números, 2, 3, 7, 43 e 13 e podemos repetir o processo estudando se 2x3x7x43x13+1 é primo, e assim encontrar um novo primo para adicionar à nossa lista.
Como posso repetir este processo tantas vezes quantas eu queira, é muito fácil criar uma lista números primos tão grande quanto eu queira, e portanto, não podem existir um número finito de números primos.
Logo, há uma infinidade de números primos.
Adicionemos agora 7 à lista de primos. Ou seja, a nossa lista de primos é agora constituída pelos números 2, 3 e 7. De seguida, voltemos a pensar da mesma forma. Será 2×3×7+1=43 primo? Sim, porque 43 só é divisível por ele próprio e por 1.
Adicionemos 43 à lista de primos. Ou seja, a nossa lista de primos é agora constituída pelos números 2, 3, 7 e 43. De seguida, voltemos a pensar da mesma forma. Será 2×3×7×43+1=1807 primo? Ora bem, de facto, como sabemos que 1807 não é divisível por nenhum número primo da nossa lista (porque se efectuarmos a divisão de 1807 por qualquer um dos números primos da nossa lista, obtemos sempre resto 1), só existem duas possibilidades, ou 1807 é primo, ou é um número composto divisível por um primo que está fora da nossa lista. No entanto, 1807 não é primo porque é divisível por 13, que é um número primo que não está na nossa lista. O que significa que encontramos um novo número primo que podemos acrescentar à nossa lista de primos. Desta forma, a nossa a lista passa a ser constituída pelos números, 2, 3, 7, 43 e 13 e podemos repetir o processo estudando se 2x3x7x43x13+1 é primo, e assim encontrar um novo primo para adicionar à nossa lista.
Como posso repetir este processo tantas vezes quantas eu queira, é muito fácil criar uma lista números primos tão grande quanto eu queira, e portanto, não podem existir um número finito de números primos.
Logo, há uma infinidade de números primos.
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