Suponhamos que os únicos primos que existiam eram apenas dois: o $2$ e o $3$.
Consideremos o número que é formado pela soma da multiplicação destes dois números primos com $1$, ou seja, $2\times 3+1=7$. Será este número primo? Sim, porque nem o $2$, nem o $3$, dividem $7$ já que após efectuarmos a divisão de $7$ por qualquer um destes primos obtemos sempre resto $1$, e não $0$.
Consideremos o número que é formado pela soma da multiplicação destes dois números primos com $1$, ou seja, $2\times 3+1=7$. Será este número primo? Sim, porque nem o $2$, nem o $3$, dividem $7$ já que após efectuarmos a divisão de $7$ por qualquer um destes primos obtemos sempre resto $1$, e não $0$.
Adicionemos agora $7$ à lista de primos. Ou seja, a nossa lista de primos é agora constituída pelos números $2$, $3$ e $7$. De seguida, voltemos a pensar da mesma forma. Será $2 \times 3 \times 7+1=43$ primo? Sim, porque $43$ não é divisível por nenhum dos primos da nossa lista. Ao efectuarmos a divisão, obtemos sempre resto $1$.
Adicionemos $43$ à lista de primos. Ou seja, a nossa lista de primos é agora constituída pelos números $2$, $3$, $7$ e $43$. De seguida, voltemos a pensar da mesma forma. Será $2 \times 3 \times 7\times 43+1=1807$ primo? Sim, porque $1807$ não é divisível por nenhum dos primos da nossa lista. Ao efectuarmos a divisão, obtemos sempre resto $1$.
Como posso repetir este processo tantas vezes quanto eu queira é muito fácil criar uma lista infinita de números primos, e portanto, não podem existir um número finito de números primos.
Conclusão: Há uma infinidade de números primos.
Adicionemos $43$ à lista de primos. Ou seja, a nossa lista de primos é agora constituída pelos números $2$, $3$, $7$ e $43$. De seguida, voltemos a pensar da mesma forma. Será $2 \times 3 \times 7\times 43+1=1807$ primo? Sim, porque $1807$ não é divisível por nenhum dos primos da nossa lista. Ao efectuarmos a divisão, obtemos sempre resto $1$.
Como posso repetir este processo tantas vezes quanto eu queira é muito fácil criar uma lista infinita de números primos, e portanto, não podem existir um número finito de números primos.
Conclusão: Há uma infinidade de números primos.
Cuidado, o argumento não me parece correcto. Por exemplo, o facto de 1807 não ser divisível por 2,3,7 e 43 não implica que seja primo. Ele poderia ser divisível por outro primo, digamos p. Nesse caso, seria esse primo p que iríamos acrescentar à lista, e agora sim, poderíamos continuar o processo.
ResponderEliminarObviamente que do ponto de vista matemático o argumento tem muitas limitações. Pretende ser apenas uma intuição que pretende fazer os alunos mergulhar num ambiente imaginário em que os únicos primos que existem são apenas os das sucessivas "listas". Logo, eles estão impedidos de pensar noutras possibilidades.
ResponderEliminarMas a sua sugestão pode resultar num argumento interessante. Vou tentar construir um argumento baseado nela, embora não seja fácil porque quando começar a iterar o processo, parece-me que as coisas complicam bastante para alunos do 6º ano.
De acordo, mas parece-me que se consegue um argumento mais convincente sem complicar muito mais. Talvez qualquer coisa do tipo:
ResponderEliminarConsideremos o número que é formado pela soma da multiplicação destes dois números primos com 1, ou seja, 2×3+1=7. Será este número primo? Sim,7 só é divisível por ele próprio e por 1,
Adicionemos agora 7 à lista de primos. Ou seja, a nossa lista de primos é agora constituída pelos números 2, 3 e 7. De seguida, voltemos a pensar da mesma forma. Será 2×3×7+1=43 primo? Sim, podes comprovar que 43 só é divisível por ele próprio e por 1.
Adicionemos 43 à lista de primos. Ou seja, a nossa lista de primos é agora constituída pelos números 2, 3, 7 e 43. De seguida, voltemos a pensar da mesma forma. Será 2×3×7×43+1=1807 primo? Aqui é mais difícil verificar se 1807 é primo ou não. Mas não interessa para o caso. Se for primo, acrescentamos 1807 à nossa lista. Se não for primo, então tem de ser divisível por um outro primo que não está na nossa lista, porque ao efectuarmos a divisão de 1807 por um dos primos da nossa lista, obtemos sempre resto 1. Neste caso, acrescentamos esse outro primo à nossa lista e continuamos o processo.
Como posso repetir este processo tantas vezes quanto eu queira é muito fácil criar uma lista infinita de números primos, e portanto, não podem existir um número finito de números primos.
Definitivamente não é fácil escrever para crianças com esta idade: agora ficamos aqui com um "outro primo" que não sabemos bem qual é, mas também não importa... é um passo em frente na abstracção
Parabéns pela iniciativa.
Comentário: 3 e 5 são primos, mas 3x5+1 não é primo.
ResponderEliminarQuestão: Começando com os primos 2 e 3 e construindo recursivamente a sequência de números que expõe no argumento (2,3,7,43,1807,.....) obtemos uma sequência de números primos?
Já estou a ser chato, mas só uma sugestão: em vez de começar com 2 e 3, que tal começar com os primos 3 e 5. A lista associada vai ser: 3,5,2,31,..., ou seja, bastam dois passos para ilustrar de forma concreta o processo que descrevi anteriormente.
ResponderEliminar1807 não é primo porque é divisível por 13 (o que também responde à sua questão). Desta forma, porque para ver se 1807 não é primo não é muito difícil, estava a pensar escrever assim:
ResponderEliminar"Comecemos por considerar uma lista com os dois primeiros números primos: o 2 e o 3. Consideremos o número que é formado pela soma da multiplicação destes dois números primos com 1, ou seja, 2×3+1=7. Será este número primo? Sim, porque 7 só é divisível por ele próprio e por 1.
Adicionemos agora 7 à lista de primos. Ou seja, a nossa lista de primos é agora constituída pelos números 2, 3 e 7. De seguida, voltemos a pensar da mesma forma. Será 2×3×7+1=43 primo? Sim, porque 43 só é divisível por ele próprio e por 1.
Adicionemos 43 à lista de primos. Ou seja, a nossa lista de primos é agora constituída pelos números 2, 3, 7 e 43. De seguida, voltemos a pensar da mesma forma. Será 2×3×7×43+1=1807 primo? Ora bem, de facto, como sabemos que 1807 não é divisível por nenhum número primo da nossa lista (porque se efectuarmos a divisão de 1807 por qualquer um dos números primos da nossa lista, obtemos sempre resto 1), só existem duas possibilidades, ou 1807 é primo, ou é um número composto divisível por um primo que está da fora nossa lista. No entanto, 1807 não é primo porque é divisível por 13, que é um número primo que não está na nossa lista. O que significa que encontramos um novo número primo que podemos acrescentar à nossa lista de primos. Desta forma, a nossa a lista passa a ser constituída pelos números, 2, 3, 7, 43 e 13 e podemos repetir o processo estudando se 2x3x7x43x13+1 é primo, e assim encontrar um novo primo para adicionar à nossa lista.
Como posso repetir este processo tantas vezes quanto eu queira é muito fácil criar uma lista infinita de números primos, e portanto, não podem existir um número finito de números primos."
Sinceramente, parece-me bem melhor agora.
Definitivamente não é nada fácil escrever e pensar para estas idades, nomeadamente para quem não está habituado a ensinar matemática a crianças destas idades. Mas tem sido um exercício muito enriquecedor.
Sim, parece-me que agora está bem. Abraço.
EliminarCaro Rui Pacheco, só agora vi o seu último comentário, porque estava a reescrever a publicação e demorei um pouco. Não está nada a ser chato Eu é que tenho de lhe agradecer porque os seus comentários estão a ser muito enriquecedores para mim.
ResponderEliminarPenso que da forma como acabei por reescrever a publicação as coisas ficam perceptíveis. Embora os números da lista sejam mais pequenos. Talvez também não seja má ideia, de facto.
Sinceramente, estou em completo desacordo com o objetivo deste tipo de intuição dada aos alunos. Era muito mais fácil eles perceberem uma forma mais da simplificada da demonstração. Pois eles adquiriam técnicas que possam vir a estimular a sua perceção matemática daí em diante. Por exemplo, se considerarem que um conjunto é finito isto já é uma novidade para eles, pois eles não sabem se é ou não finito mas vão ter de considerar isso, para verificar que se isso acontecer então vemos que é impossível (demonstração por contradição).
ResponderEliminarCumprimentos,
Jorge
Caro Jorge,
EliminarPenso que uma abordagem simplificada da demonstração é o que eu tentei fazer nesta publicação. Ou há outra maneira de o fazer de forma ainda mais simples? Ou sugere que recorramos ao formalismo da demonstração já nestas idades?
No entanto, por a abordagem desta publicação enfrentamos um problema, que na minha opinião é grande: na realidade, 1807 nem sequer é primo porque é divisível por 13. Apenas podemos dizer que é "primo" (entre muitas aspas) porque não é divisível por nenhum primo da lista. Por isso, eu e o colega Rui Pacheco tentamos desenvolver outra abordagem que pode ler aqui:
http://somainfinita.blogspot.pt/2014/07/ha-uma-infinifdade-de-numeros-primos.html ou em comentários anteriores.
Eu também penso que os alunos intuitivamente reconhecem um conjunto finito ou infinito (se fizermos o paralelo com os naturais) . Podem não o saber por estas palavras exactamente, mas já têm estas intuições no 6º ano. Ou estarei enganado? Não tenho experiência a leccionar estes níveis de escolaridade.
Cumprimentos,
Joaquim
Cumprimentos,
Joaquim Baião
Este comentário foi removido pelo autor.
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