Algumas propriedades das operações (revisões 1º Ciclo)

1. Prova que $3 \times \frac{1}{4}=\frac{3 \times 1}{4}$.
Resolução:
Através de igualdades sucessivas, podemos concluir que,

$$ 3 \times \frac{1}{4}= \frac{1}{4}+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=\frac{1+1+1}{4}=\frac{3 \times 1}{4}$$
o que significa que,
$$3 \times \frac{1}{4}=\frac{3 \times 1}{4}.$$

De forma mais geral: Sejam $a$, $b$ e $n$ números naturais,
$$n \times \frac{a}{b}=\frac{n \times a}{b}.$$
 2. Prova que $5:2=\frac{5}{2}.$
Resolução:
Por outras palavras,  por definição de quociente, o que queremos provar é que
$$5=2 \times \frac{5}{2}.$$
Ora, como,
$$ 2 \times \frac{5}{2}=\frac{2 \times 5^{(:2)}}{2_{(:2)}}=5$$
fica provado que,
$$5=2 \times \frac{5}{2}$$
ou seja,
$$5:2=\frac{5}{2}.$$
De forma mais geral: Sejam $a$ e $b$ números naturais,
$$a:b=\frac{a}{b}.$$
3. Prova que $\frac{2}{3}:4=\frac{2}{4 \times 3}.$
Resolução:
Por outras palavras,  por definição de quociente, o que queremos provar é que
$$\frac{2}{3}= 4 \times \frac{2}{4 \times 3}$$
Ora, como,
$$4 \times \frac{2}{4 \times 3}=\frac{4 \times 2^{(:4)}}{4 \times 3_{(:4)}}=\frac{2}{3}$$
fica provado que,
$$\frac{2}{3}= 4 \times \frac{2}{4 \times 3}.$$
ou seja,
$$\frac{2}{3}:4=\frac{2}{4 \times 3}.$$
De forma mais geral: Sejam $a$, $b$ e $n$ números naturais,
$$\frac{a}{b}:n=\frac{a}{n \times b}.$$
4. Prova que $2:3= 2\times \frac{1}{3}.$
Resolução:
Por outras palavras,  por definição de quociente, o que queremos mostrar é que o número que multiplicado por $3$ dá $2$ pode ser dado por $2\times \frac{1}{3}$, ou seja,
$$ 3 \times \left(2 \times \frac{1}{3}\right)=2.$$
Por meio de igualdades sucessivas podemos concluir que,
$$3 \times \left(2 \times \frac{1}{3}\right)=3 \times \left(\frac{2 \times 1}{3}\right)= 3 \times \frac{2}{3}=\frac{3\times 2^{(:3)}}{3_{(:3)}}=2.$$
Assim, como queriamos provar,
$$ 3 \times \left(2 \times \frac{1}{3}\right)=2.$$
Ou seja,
$$2:3= 2\times \frac{1}{3}.$$
De forma mais geral: Sejam $a$ e $n$ números naturais,
$$a:n= a\times \frac{1}{n}.$$
5. Prova que $\frac{3}{7}: \frac{1}{5}= \frac{3}{7}\times 5$
Resolução:
Por outras palavras, por definição de quociente, o que queremos mostrar é que o número que multiplicado por $\frac{1}{5}$ dá $\frac{3}{7}$ pode ser dado por $\frac{3}{7}\times 5$, ou seja,
$$\frac{1}{5} \times \left(\frac{3}{7}\times 5\right)=\frac{3}{7}.$$
Por meio de igualdades sucessivas podemos concluir que,
$$\frac{1}{5} \times \left(\frac{3}{7}\times 5\right)=\frac{1}{5} \times \left(5 \times \frac{3}{7}\right)=\left(\frac{1}{5} \times 5 \right) \times \frac{3}{7}=$$
$$=\left(\frac{1}{5} \times 5 \right) \times \frac{3}{7}=\left(\frac{1\times 5}{5}\right) \times \frac{3}{7}=\left(\frac{5}{5}\right) \times \frac{3}{7}=1 \times \frac{3}{7}=\frac{3}{7}$$
Assim, como queríamos provar,
$$\frac{1}{5} \times \left(\frac{3}{7}\times 5\right)=\frac{3}{7}.$$
Ou seja,
$$\frac{3}{7}: \frac{1}{5}= \frac{3}{7}\times 5.$$
De forma mais geral: Sejam $a$, $b$ e $n$ números naturais, $$\frac{a}{b} : \frac{1}{n}=\frac{a}{b} \times n.$$
Em particular, tomando $b=1$, concluímos que,

$$a : \frac{1}{n}=a \times n.$$