Propriedades da adição números racionais.

1. Prova que $-(q+r)=(-q)+(-r)$, em que $q$ e $r$ são números racionais.

Por outras palavras, o que queremos provar é que o números racional que devemos somar a $q+r$ para obter $0$ (o elemento neutro da soma de números racionais) é $(-q)+(-r)$. Ou seja, $q+r+(-q)+(-r)=0$.

Como,

$$q+r+(-q)+(-r)=q+(-q)+r+(-r)=0+0=0$$.

1ª igualdade: propriedade comutativa da adição de números racionais.
2ª igualdade: O simétrico de $q$ é $-q$, ou seja, $q+(-q)=0$. O simétrico de $r$ é $-r$, ou seja, $r+(-r)=0$.

Assim, fica provado que,

$$-(q+r)=-q+(-r).$$

Ou então,

$$-(q+r)=-q-r.$$

2. Prova que  $-(q-r)=-q+r$, em que $q$ e $r$ são números racionais.

Podia efectuar um procedimento semelhante ao utilizado na prova do ponto 1. Mas, ao invés, vou optar por efectuar um outro procedimento.

Por meio de igualdades, podemos concluir o seguinte,

$$-(q-r)=-(q+(-r))=-q+(-(-r))=-q+r$$

1ª Igualdade: $q-r=q+(-r)$
2ª Igualdade: $-(q+r)=-q+(-r)$ (Ponto 1.)
3ª Igualdade: $-(-r)=r$

Assim fica provado que $-(q-r)=-q+r$.