Monopólio vs Duopólio (matemática e economia) - 2

Depois de na publicação anterior ter discutido a situação em que a empresa $A$ estava no mercado numa situação monopolista, nesta publicação vou discutir o caso em que surge uma empresa $B$ disposta a competir com a empresa $A$ pela venda de um mesmo produto. 

Tal como no caso anterior, também vamos supor que a empresa $B$, tal como a empresa $A$, vende tudo aquilo que produz e que o custo de produção das duas empresas é igual, ou seja, €5. No entanto, agora o preço $p$ vai ter se relacionar com a procura de uma forma diferente porque a oferta de produtos agora não corresponde apenas ao número de produtos produzidos pela empresa $A$, mas corresponde ao número de produtos produzidos pelas empresas $A$ e $B$. Assim, se consideramos $x$ o número de produtos produzidos pela empresa $A$ e $y$ o números de produtos produzidos pela empresa $B$, suponhamos que o preço e a oferta se relacionam da seguinte forma: $$p=\frac{60}{x+y},$$ onde $x$ e $y$ são números inteiros positivos. 

Desta forma, a função lucro da empresa $A$, $\pi_{A}$, é definida da seguinte forma $$\pi_{A}(x,y)= \frac{60}{x+y} \times x-5x,$$ e a função lucro da empresa $B$, $\pi_{B}$, é definida da seguinte forma $$\pi_{B}(x,y)= \frac{60}{x+y} \times y-5y.$$

É importante notar que nesta situação a função lucro de cada uma das empresas não depende apenas das opções que elas tomam relativamente há quantidade de produto que colocam no mercado, mas depende também das opções do seu concorrente. Para não complicar muito a situação pensemos apenas no caso em que as empresas $A$ e $B$ apenas podem escolher entre produzir 1 ou 2 unidades. Recorde-se que produzir 1 unidade era a melhor opção para a empresa A quando estava numa situação monopolista. 

Recorrendo às funções lucro de cada uma das empresas podemos através da seguinte tabela resumir lucros que as empresas terão considerando as possíveis opções as empresas podem fazer.

 

Exemplo: $\pi_{A}(2,1)$ corresponde ao lucro da empresa $A$ se esta optar por produzir duas unidades e a empresa $B$ uma unidade. De modo semelhante, $\pi_{B}(2,1)$ corresponde ao lucro da empresa $B$ se esta optar por produzir uma unidade e a empresa $A$ duas unidade.

E neste caso, caímos num caso semelhante ao do Dilema do Prisioneiro. As empresas obteriam mais lucro se conseguissem coordenar estratégias e produzir uma unidade cada uma, mas como cada uma delas não sabe a opção que a outra vai tomar, a melhor escolha para cada uma delas considerando as possíveis opções da empresa concorrente é fornecerem ao mercado 2 unidades cada uma. O que implica uma redução do preço para €15 e um lucro de €20 para cada uma.

Assim, o resultado final, ilustra como a competição é boa para o consumidor porque permitiu baixar os preço do produto de €60 (preço da situação monopolista) para €15, e para além disso, a oferta deixa de ser de 1 só produto para passar a ser de 4 produtos.

Para as empresas, a passagem para a situação de duopólio implica a redução dos lucros, e inclusivé, a redução do lucro agregado porque as duas juntas só conseguem um lucro de €40, enquanto que numa situação de monopólio uma só empresa tinha um lucro de €55.

Nota: As empresas ainda lucravam mais se vendessem um só produto, agissem como uma única empresa monopolista, e dividissem o lucro. Mas vamos admitir que isso não é possível.

Monopólio vs Duopólio (matemática e economia) - 1

Para quem não está familiarizado com os conceitos de monopólio e de duopólio, diz-se que existe uma situação de monopólio quando só há uma empresa no mercado a fornecer um determinado produto/serviço, de forma semelhante se diz que existe uma situação de duopólio quando existem duas empresas no mercado a competir pela venda de um produto/serviço.

Nas próximas duas publicações o que me proponho discutir, são os efeitos de cada um destes tipos de mercados para as empresas e para os consumidores. No entanto, o que vou fazer não pretende ser uma aplicação prática, mas uma analise de uma formulação teórica simplificada para não afastar o leitor do que é essencial. Na realidade tudo isto é muito mais complexo.

Comecemos por supor que há no mercado apenas uma empresa, a empresa A, a produzir e comercializar um determinado produto. Portanto, estamos nesta primeira fase, numa situação de monopólio. 

Para essa empresa, o custo de produção de cada unidade é de €5. Assim, se o número de unidades produzidas for igual ao número de unidades vendidas e esta empresa quiser vender cada unidade a um preço $p$, em que $p$ é um número positivo, o seu lucro $\pi$ é dado por 

$$\pi = p \times x - 5x$$ 

onde $x$ representa o número de unidades produzidas/vendidas (procura) e é um número inteiro positivo.

Para maximizar o seu lucro a empresa precisa de analisar o mercado e estimar o número de quantidades que vai vender a um determinado preço $p$, ou seja, precisa de relacionar o preço e a procura. Para tal, suponhamos que neste mercado o preço e a procura estão relacionados da seguinte forma $x=\frac{60}{p}$. Note-se que, nesta relação, um aumento do preço implica uma diminuição do número de unidades vendidas (procura) e uma diminuição do preço implica um aumento das unidades vendidas (procura).

Desta forma como,

$$x=\frac{60}{p}=p \text{, ou seja, } p=\frac{60}{x}$$

e $\pi = p \times x - 5x$ então,

$$\pi =\frac{60}{x}\times x-5x=60- 5x$$,

isto é,
$$\pi=60-5x.$$

O que significa que, numa situação de monopólio, a opção que maximiza o lucro da empresa A é produzir 1 unidade, a um preço de €60, obtendo um lucro de €55.

Na próxima publicação irei discutir o caso em que aparece um concorrente no mercado a vender o mesmo produto, uma empresa B, e discutir as suas implicações quer para as empresas, quer para os consumidores, quando comparadas com a situação de monopólio.

Ideias de Xangai

"Ideas from Shanghai"

Dilema do Prisioneiro

Inventado por Merril Flood e Melvin Dresher em 1950 e mais tarde formalizado por Albert Tucker, um dos dilemas mais famosos em Teoria de Jogos é o Dilema do Prisioneiro.

A menos dos nomes, a história é a seguinte:

No distrito de Chicago um crime foi cometido e o procurador distrital, embora não tenha provas suficientes, sabe que ele foi cometido por dois criminosos que, por simplicidade iremos chamar de Ivo e Bruno. No entanto, o procurador apenas os pode condenar se pelo menos um deles confessar o crime. Por esse motivo, ele manda prender os dois criminosos, coloca-os em salas separadas e oferece a cada um deles o seguinte acordo:

• Se tu confessares e o teu cúmplice não confessar, sais em liberdade e o teu cúmplice será condenado à pena máxima de 10 anos de prisão. Mas se o teu cúmplice confessar e tu não confessares, ele sai em liberdade e tu serás condenado a 10 anos de prisão. 
• Se os dois confessarem, ambos serão presos mas não serão condenados à pena máxima por colaborarem com a justiça, ou seja, terão uma pena prisão de 7 anos. 
• Se nenhum confessar, as provas que já foram reunidas são suficientes para atribuir uma pena de 1 ano de prisão a cada um. 

De forma simples, a questão pode resumir-se ao quadro abaixo, onde em cada uma das células o primeiro número corresponde à pena de prisão a atribuir ao Ivo, e o segundo à pena de prisão a atribuir ao Bruno de acordo com as possíveis opções que cada um dos criminosos possam tomar.

Nota: A utilização de números negativos devesse apenas ao facto de a pena de prisão ser uma consequência negativa.

Neste caso, os criminosos confrontam-se com um dilema: confessar ou não confessar?

Analisemos a situação, na perspectiva do Ivo tendo apenas em atenção as consequências do acordo do procurador:

• Se o Bruno não confessar, o Ivo terá uma pena de prisão de 1 ano se não confessar o crime e sairá em liberdade se confessar;
• Se o Bruno confessar, o Ivo terá uma pena de prisão de 10 anos se não confessar o crime e uma pena de prisão de 7 anos se confessar.

A mesma análise pode ser feita para o caso do Bruno. O que significa que, globalmente, tendo em conta a aquilo que o cúmplice pode fazer, para qualquer um dos dois confessar o crime é sempre a melhor opção, mesmo correndo o risco de serem condenados a uma pena de prisão de 7 anos.

E o que este dilema tem de interessante é precisamente isso. É que embora haja a possibilidade de ambos terem uma pena de prisão de um ano, o que seria possível se os criminosos tivessem a possibilidade de coordenar a melhor estratégia para responder ao acordo do procurador e não confessar o crime, não sendo isso possível, a melhor estratégia para os dois é confessar o crime e ser-lhes atribuída uma pena de 7 anos de prisão. 

Como esta, há muitas situações na vida em que nós poderíamos tirar vantagem se fosse possível coordenar a nossa ação com a resposta de outros intervenientes, mas como nem sempre isso é possível, acabamos por tomar a opção que nos coloca numa posição de minimizar perdas, sejam quais forem as escolhas dos outros intervenientes. Mesmo que essa opção nos possa trazer consequências muito negativas.

Agora, é evidente que isto é apenas uma formulação teórica, cada pessoa é uma pessoa e há pessoas mais avessas ao risco que outras, mais cooperantes e menos cooperantes. Além disso, na vida real, muitas vezes uma opção desta natureza pode se tomada considerando o conhecimento que uma pessoa tem da outra. Mas este não deixa de ser uma modelo que acaba por ilustrar muitas situações da vida.  

Teoria de Jogos

John Nash (1928-...)

No nosso dia-a-dia, situações como a definição do preço para um determinado produto, a negociação entre duas pessoas, leilões de produtos na internet, de arte, de imóveis, de empresas, são muito comuns. Em cada um destes casos o objetivo é sempre definir a melhor estratégia de forma a maximizar o ganho e/ou minimizar as perdas.

Por exemplo, na definição do preço de um determinado produto o vendedor quer sempre maximizar o seu lucro. Desta forma, mesmo estando numa posição monopolista no mercado, não pode definir o preço que bem entende porque, se o fizer, pode correr o risco de pedir um preço tão alto que afasta toda a procura. E ainda menos o pode fazer se tiver concorrentes no mercado porque corre o risco dos consumidores preferirem comprar o produto a um concorrente.

Algo semelhante se pode aplicar na negociação entre duas pessoas. Para ilustrar este caso podemos tomar como exemplo a negociação salarial entre os patrões e os representantes dos sindicatos dos trabalhadores de uma empresa. Neste caso, embora os patrões prefiram não aumentar os salários, ou na pior das hipóteses, aumentá-los o menos possível, os representantes dos sindicatos pretendem o contrário. O que significa que, neste caso, nem os patrões podem partir para uma negociação deste tipo com uma proposta de salário muito desvantajosa para os trabalhadores, nem os sindicatos podem exigir um aumento de salário muito elevado, sob pena de se extremarem posições e não se conseguir chegar a um acordo.

Relativamente ao caso dos leilões, o objetivo de quem vende é sempre vender pelo preço mais alto e o objetivo de quem compra é sempre comprar pelo preço mais baixo. Neste caso, o formato de leilão e as regras às quais ele obedece influenciam o resultado final. Por exemplo, num leilão, todos os participantes podem ter acesso às propostas que vão sendo feitas pelos participantes mas, por outro lado, também pode dar-se o caso de ninguém ter conhecimento das propostas que são apresentadas. Com certeza que não é equivalente optar por um modelo de leilão ou por outro. As privatizações do estado são um exemplo de leilão muito em voga nos dias de hoje. Neste caso o estado deverá definir o modelo de leilão que mais se apropria a cada uma das empresas de forma a obter o maior benefício para o contribuinte.

É sobre este tipo de assuntos que se debruça a Teoria de Jogos. A Teoria de Jogos é um ramo da Matemática muito em expansão nos dias de hoje e podemos encontrar estes e outros exemplos da sua aplicação em situações que implicam a definição da melhor estratégia em jogos tão conhecidos como póquer e xadrez, e em muitas áreas do conhecimento como economia, finanças, biologia, sociologia, psicologia, física e antropologia.

Este ramo da Matemática, embora não tenha sido inventado por John Nash (1928-...) e os créditos da sua invenção sejam atribuídos a John von Neumann (1903-1957), foi ele que o expandiu e o dotou de ferramentas suficientemente poderosas para resolver problemas da realidade em várias áreas. O seu trabalho teve uma importância de tal ordem que os feitos matemáticos de Newton e Einstein estão para a física, assim como os de Nash estão para as ciências biológicas e sociais. Em 1994 John Nash partilhou o prémio Nobel da Economia com John Harsanyi e Reihnard Selten.

De salientar que muitos têm sido galardoados com prémios Nobel da economia por trabalhos no ramo da Teoria de Jogos. Ainda este ano, Jean Tirole é exemplo disso, tendo sido galardoado pelo seu trabalho em análise do poder e regulação do mercado. Um tema muito atual e pertinente.

Algumas definições interessantes sobre os números primos.

Primos Gémeos (em inglês, twin primes): São pares de números primos separados por 2 unidades.

Alguns exemplos:

• 3 e 5;
• 5 e 7;
• 11 e 13;
• 17 e 19;
• 29 e 31;
• 41 e 43.

Primos primos (em inglês, cousin primes): São pares de números primos separados por 4 unidades.

Alguns exemplos:

• 3 e 7;
• 7 e 11;
• 13 e 17;
• 19 e 23;
• 37 e 41;
• 43 e 41;
• 67 e 71.

Primos Sexys (em inglês, sexy Primes): São pares de números primos separados por 6 unidades.

Alguns exemplos:

• 5 e 11;
• 7 e 13;
• 11 e 17;
• 13 e 19;
• 17 e 23;
• 23 e 29;
• 31 e 37;
• 37 e 43;
• 41 e 47;
• 47 e 53.

Produto Interno Bruto em Portugal

Na tabela abaixo estão representados os valores do PIB entre os anos de 2010 e 2013, e a sua variação, em percentagem, relativamente ao ano anterior.

Fonte: PORDATA

1. Escreve o valor do PIB de 2012 em notação científica.
   
   
2. Em percentagem, qual o valor da recessão económica que se registou em Portugal em 2012 face a 2011.
   
   
3. Considerando que em 2013 registou-se uma recessão económica de 1,36% face a 2012, qual o valor do PIB em 2013.

Actividade exploratória - Tarifários de telemóvel

No mercado de telecomunicações em Portugal estão disponíveis os três seguintes tarifários pré-pagos para telemóvel:

1. Para uma utilização mensal de 15 dias, com uma utilização diária de 20 minutos de chamadas para dentro da rede e 5 mensagens para outras redes, qual o tarifário mais vantajoso?
2. Identifica as situações em que cada um dos três tarifários pode ser mais vantajoso.
3. Considerando a utilização regular que fazes do teu telemóvel, qual dos três tarifários se adequa mais à tua situação? Justifica a tua resposta.

Critérios de divisibilidade por 2,3 e 5 e decomposição em fatores primos.

Sem recorrer à calculadora, decompõe os seguintes números em fatores primos.

1. 12;
2. 45;
3. 100;
4. 225;
5. 300.