Aplicação em geogebra para o estudo de funções

Uma aplicação em geogebra para o estudo de funções partilhada por Humberto José Bortolossi.

Números Vampiros

Números vampiros foram pela primeira vez definidos por Clifford A. Pickover em 1994.

Definição:

Um número vampiro é um número natural $n$ com um número par de algarismos que pode ser escrito como o produto de dois factores (chamados presas) contendo os mesmos algarismos, o mesmo número de vezes, que os algarismos que constituem $n$.

Exemplos:

• $1260=21\times 60$;
  $1260$ tem $4$ algarismos (um números par).
  $1$, $2$, $6$ e $0$ aparecem o mesmo número de vezes quer em $1260$, quer em $21\times 60$, formando uma igualdade verdadeira.

Da mesma forma,

• $1395=15\times 93$; 
• $1435=35 \times 41$;
• $117067 = 167 \times 701$;
• $124483 = 281 \times 443$.

Lista de alguns números vampiros.

1. 1260
2. 1395
3. 1435
4. 1530
5. 1827
6. 2187
7. 6880
8. 102510
9. 104260
10. 105210
11. 105264
12. 105750
13. 108135
14. 110758
15. 115672
16. 116725
17. 117067
18. 118440
19. 120600
20. 123354
21. 124483
22. 125248
23. 125433
24. 125460
25. 125500
26. 126027
27. 126846
28. 129640 

Também se sabe que:

• com $4$ algarismos há $7$ números vampiros;
• com $6$ algarismos há $148$ números vampiros;
• com $8$ algarismos há $3228$ números vampiros;
• com $10$ algarismos há $108454$ números vampiros;
• com $12$ algarismos há $4390670$ números vampiros;
• com $14$ algarismos há $208423682$ números vampiros.

Máximo Divisor Comum 6º Ano (Exercício 2)

Exercício

Determina dois números inteiros $a$ e $b$, sabendo que $m.d.c.(a,b)=35$ e $a=\frac{2}{3}b$.

Resolução:

Como $m.d.c.(a,b)=35$, em particular sabemos que:

• $35$ divide $a$, ou seja, $a=35\times p$, para algum inteiro $p$;

• $35$ divide $b$, ou seja, $b=35\times q$, para algum inteiro $q$.

Desta forma, como $a=\frac{2}{3} \times b$ e $b=35\times q$ então $a=\frac{2}{3} \times (35\times q)$.

Assim,

• $a=35 \times (\frac{2}{3} \times q)$
• $b=35 \times q$.

O que significa que, tomando $q=3$ para que $a$ seja inteiro, $\frac{2}{3} \times 3=2$ e o $m.d.c.( \frac{2}{3} \times q, q)=m.d.c.(2,3)=1$. Logo, se $q=3$, $m.d.c.(a,b)=35$.

Consequentemente, para $q=3$,

• $a=35 \times (\frac{2}{3} \times 3)=70$;
• $b=35\times 3=105$.

Números e Operações - Desafio 6

Demonstração do Teorema de Pitágoras e sua ilustração geométrica (recorrendo ao Teorema de Tales).

Nesta publicação irá ser feita uma demonstração formal do Teorema de Pitágoras, recorrendo ao Teorema de Tales, juntamente com uma ilustração geométrica dos resultados que vão sendo obtidos. 

Consideremos o triângulo $\left[ABC\right]$ rectângulo em $C$ e $\left[CD\right]$ a sua altura relativamente ao lado $\left[AB\right]$. Sejam $a=\overline{BC}$, $b=\overline{AC}$, $c=\overline{AB}$, $x=\overline{AD}$ e $y=\overline{DB}$.

Passo 1: Concluir que o triângulo $\left[ABC\right]$ é semelhante ao triângulo $\left[ADC\right]$ e que o triângulo $\left[ABC\right]$ é semelhante ao triângulo $\left[BDC \right]$.

• Como o triângulo $\left[ABC\right]$ e o triângulo $\left[ADC\right]$ são ambos rectângulos e têm o ângulo interno do vértice $A$ em comum, pelo critério AA de semelhança de triângulos, os dois triângulos são semelhantes.
• De forma semelhante, como o triângulo $\left[ABC\right]$ e o triângulo $\left[BDC\right]$ são ambos rectângulos e têm o ângulo interno do vértice $B$ em comum, pelo critério AA de semelhança de triângulos, os dois triângulos são semelhantes.

Passo 2: Concluir que $\frac{\overline{AC}}{\overline{AB}}=\frac{\overline{AD}}{\overline{AC}}$ e $\frac{\overline{BC}}{\overline{AB}}=\frac{\overline{DB}}{\overline{BC}}$.

Como pelo passo 1 concluímos que  o triângulo $\left[ABC\right]$ é semelhante ao triângulo $\left[ADC\right]$ e

• $\left[AC\right]$ corresponde a $\left[AB\right]$;
• $\left[AD\right]$ corresponde a $\left[AC\right]$;

então, $$\frac{\overline{AC}}{\overline{AB}}=\frac{\overline{AD}}{\overline{AC}}$$.

De forma semelhante, como pelo passo 1 concluímos que  o triângulo $\left[ABC\right]$ é semelhante ao triângulo $\left[BDC\right]$ e

• $\left[BC\right]$ corresponde a $\left[AB\right]$;
• $\left[DB\right]$ corresponde a $\left[BC\right]$;

então,  $$\frac{\overline{BC}}{\overline{AB}}=\frac{\overline{DB}}{\overline{BC}}$$.

Passo 3: Considerando a figura abaixo: concluir que $b^{2}=x \times c$, ou seja, que a área do quadrado $\left[ACKL\right]$ é igual à área do rectângulo $\left[ADOP\right]$; E concluir que $a^{2}= y \times c$, ou seja, que  a área do quadrado $\left[BCNM\right]$ é igual à área do rectângulo $\left[DBOQ\right]$.

Como pelo passo 2 concluímos que,  $$\frac{\overline{AC}}{\overline{AB}}=\frac{\overline{AD}}{\overline{AC}}$$
então,
$$\frac{b}{c}=\frac{x}{b}.$$ Logo, $b^{2}=x \times c$.

De forma semelhante  como pelo passo 2, concluímos que,  $$\frac{\overline{BC}}{\overline{AB}}=\frac{\overline{DB}}{\overline{BC}}$$
então,
$$\frac{a}{c}=\frac{y}{a}.$$
Logo, $a^{2}=y \times c$.

Passo 4: Concluir que $a^{2}+b^{2}=c^{2}$. Ou seja, que da área dos quadrados que estão sobre os catetos é igual à área do quadrado sobre a hipotenusa.

Depois de realizarmos estes quatro passos, podemos intuitivamente concluir que a soma da área do quadrado $\left[ACKL\right]$ com a área do quadrado $\left[BCNM\right]$ é igual à área do quadrado $\left[ACKL\right]$.
No entanto, sendo mais rigoroso, pelo passo 3, como $b^{2}=x \times c$ e $a^{2}=y \times c$, então

$$a^{2}+b^{2}=y \times c+x \times c=(y+x) \times c =c\times c=c^{2}$$

porque $x+y=c$.

Logo, $a^{2}+b^{2}=c^{2}$.

A seguinte aplicação em Geogebra ilustra na perfeição toda esta demonstração.

Representação em dízima finita de frações.

Representa na forma de dízima as seguintes frações, sem recorrer ao algoritmo da divisão:

1. $\frac{1}{5}$
   Resolução:
   $\frac{1^{(\times 2)}}{5_{(\times 2)}}=\frac{2}{10}=0,2$.
2. $\frac{3}{4}$
   Resolução:
   $\frac{3}{4}=\frac{3^{(\times 5^{2})}}{2^{2}_{(\times 5^{2})}}=\frac{3\times 5^{2}}{2^2 \times 5^{2}}=\frac{75}{100}=0,75$.
   
3. $\frac{7}{50}$
   Resolução:
   $\frac{7}{50}=\frac{7^{(\times2)}}{2 \times 5^{2}_{(\times2)}}=\frac{14}{2^{2} \times 5^{2}}=\frac{14}{100}=0,14$.
4. $\frac{21}{60}$
   Resolução:
   $\frac{21}{60}=\frac{3 \times 7^{(:3)}}{2^{2} \times 3 \times 5_{(:3)}}=\frac{7^{(\times 5)}}{2^{2} \times 5_{(\times 5)}}=\frac{7\times 5}{2^{2} \times 5^{2}}=\frac{35}{100}=0,35$.
5. $\frac{126}{125}$
   Resolução:
   $\frac{126}{125}=1+\frac{1}{125}=1+\frac{1}{5^{3}}=1+\frac{1^{(\times 2^{3})}}{5^{3}_{(\times 2^{3})}}=1+\frac{2^{3}}{2^{3} \times 5^{3}}=1+\frac{8}{1000}=1+0,008=1,008$.
6. Poderá $\frac{6}{70}$ ser representada sob a forma de dízima finita?
   Resolução:
   Como, $\frac{6}{70}=\frac{2 \times 3}{2 \times 5 \times 7}=\frac{3}{5 \times 7}$, podemos observar que $\frac{6}{70}$ quando escrita sob a forma de fração irredutível tem um divisor primo diferente de 2 e de 5 (ou seja, 7).
   Logo, $\frac{6}{70}$ não pode ser escrito sob a forma de dízima finita.

Números e Operações - Desafio 5

Números e Operações - Desafio 4