Demonstração do Teorema de Pitágoras e sua ilustração geométrica (recorrendo ao Teorema de Tales).

Nesta publicação irá ser feita uma demonstração formal do Teorema de Pitágoras, recorrendo ao Teorema de Tales, juntamente com uma ilustração geométrica dos resultados que vão sendo obtidos. 

Consideremos o triângulo $\left[ABC\right]$ rectângulo em $C$ e $\left[CD\right]$ a sua altura relativamente ao lado $\left[AB\right]$. Sejam $a=\overline{BC}$, $b=\overline{AC}$, $c=\overline{AB}$, $x=\overline{AD}$ e $y=\overline{DB}$.

Passo 1: Concluir que o triângulo $\left[ABC\right]$ é semelhante ao triângulo $\left[ADC\right]$ e que o triângulo $\left[ABC\right]$ é semelhante ao triângulo $\left[BDC \right]$.

• Como o triângulo $\left[ABC\right]$ e o triângulo $\left[ADC\right]$ são ambos rectângulos e têm o ângulo interno do vértice $A$ em comum, pelo critério AA de semelhança de triângulos, os dois triângulos são semelhantes.
• De forma semelhante, como o triângulo $\left[ABC\right]$ e o triângulo $\left[BDC\right]$ são ambos rectângulos e têm o ângulo interno do vértice $B$ em comum, pelo critério AA de semelhança de triângulos, os dois triângulos são semelhantes.

Passo 2: Concluir que $\frac{\overline{AC}}{\overline{AB}}=\frac{\overline{AD}}{\overline{AC}}$ e $\frac{\overline{BC}}{\overline{AB}}=\frac{\overline{DB}}{\overline{BC}}$.

Como pelo passo 1 concluímos que  o triângulo $\left[ABC\right]$ é semelhante ao triângulo $\left[ADC\right]$ e

• $\left[AC\right]$ corresponde a $\left[AB\right]$;
• $\left[AD\right]$ corresponde a $\left[AC\right]$;

então, $$\frac{\overline{AC}}{\overline{AB}}=\frac{\overline{AD}}{\overline{AC}}$$.

De forma semelhante, como pelo passo 1 concluímos que  o triângulo $\left[ABC\right]$ é semelhante ao triângulo $\left[BDC\right]$ e

• $\left[BC\right]$ corresponde a $\left[AB\right]$;
• $\left[DB\right]$ corresponde a $\left[BC\right]$;

então,  $$\frac{\overline{BC}}{\overline{AB}}=\frac{\overline{DB}}{\overline{BC}}$$.

Passo 3: Considerando a figura abaixo: concluir que $b^{2}=x \times c$, ou seja, que a área do quadrado $\left[ACKL\right]$ é igual à área do rectângulo $\left[ADOP\right]$; E concluir que $a^{2}= y \times c$, ou seja, que  a área do quadrado $\left[BCNM\right]$ é igual à área do rectângulo $\left[DBOQ\right]$.

Como pelo passo 2 concluímos que,  $$\frac{\overline{AC}}{\overline{AB}}=\frac{\overline{AD}}{\overline{AC}}$$
então,
$$\frac{b}{c}=\frac{x}{b}.$$ Logo, $b^{2}=x \times c$.

De forma semelhante  como pelo passo 2, concluímos que,  $$\frac{\overline{BC}}{\overline{AB}}=\frac{\overline{DB}}{\overline{BC}}$$
então,
$$\frac{a}{c}=\frac{y}{a}.$$
Logo, $a^{2}=y \times c$.

Passo 4: Concluir que $a^{2}+b^{2}=c^{2}$. Ou seja, que da área dos quadrados que estão sobre os catetos é igual à área do quadrado sobre a hipotenusa.

Depois de realizarmos estes quatro passos, podemos intuitivamente concluir que a soma da área do quadrado $\left[ACKL\right]$ com a área do quadrado $\left[BCNM\right]$ é igual à área do quadrado $\left[ACKL\right]$.
No entanto, sendo mais rigoroso, pelo passo 3, como $b^{2}=x \times c$ e $a^{2}=y \times c$, então

$$a^{2}+b^{2}=y \times c+x \times c=(y+x) \times c =c\times c=c^{2}$$

porque $x+y=c$.

Logo, $a^{2}+b^{2}=c^{2}$.

A seguinte aplicação em Geogebra ilustra na perfeição toda esta demonstração.