Números e Operações - Desafio 1

Relação entre o produto de dois numeros naturais e o produto do seu mdc e mmc.

Consideremos os números naturais $84$ e $40$.

Por exemplo, através do Algoritmo de Euclides, obtemos que o $m.d.c.(84, 40)=4$. Assim, como $4$ é divisor de $84$ e de $40$ podemos concluir que $84=4 \times 21$ e $40=4 \times 10$. Desta forma, qualquer múltiplo comum a $84$ deve ser múltiplo de $4$ e de $21$, e qualquer múltiplo de $40$ deve ser múltiplo de $4$ e de $10$. O que significa que o mínimo múltiplo comum entre $84$ e $40$ $(m.m.c.(84,40))$ é dado por $4 \times 21 \times 10= 840$. 

Note-se que este último raciocínio apenas é válido porque $m.d.c.(21,10)=1$. Mas, se assim não fosse, $m.d.c.(84,40)$ também não seria $4$.

Ou seja, fazendo um resumo de todos os resultados que obtivemos até ao instante, sabemos que:

1. $m.d.c.(84, 40)=4$;
2. $84=4 \times 21$;
3. $40=4 \times 10$;
4. $m.m.c.(84,40)=4 \times\ 21 \times 10=840$.

Comparemos então o resultado de $84 \times 40$ e de $m.d.c.(84,40) \times m.m.c.(84,40)$:

• $84 \times 40=3360$;
• $m.d.c.(84, 40) \times m.m.c.(84,40)=4 \times 840=3360$.

Será o produto de dois números naturais igual ao produto do seu mínimo múltiplo comum com o seu máximo divisor comum?

Tal como verificamos,

$$
\begin{array}{rclr}
84 \times 40 &=& (4 \times 21) \times (4 \times 10) = & \text{por (2) e (3)}\\
                    &=& 4 \times (4 \times 10 \times 21)= & \text{Prop. comutativa e associativa}\\
                    &=& m.d.c.(84,40) \times m.m.c.(84,40) & \text{por (1) e (4)}

\end{array}
$$

Logo, a partir destas últimas igualdades, penso que é mais fácil acreditar no seguinte resultado mais geral.

Resultado: Sejam $a$ e $b$ números naturais

$$ a \times b=m.d.c.(a,b) \times m.m.c.(a,b).$$