Propriedades da adição números racionais.

1. Prova que $-(q+r)=(-q)+(-r)$, em que $q$ e $r$ são números racionais.

Por outras palavras, o que queremos provar é que o números racional que devemos somar a $q+r$ para obter $0$ (o elemento neutro da soma de números racionais) é $(-q)+(-r)$. Ou seja, $q+r+(-q)+(-r)=0$.

Como,

$$q+r+(-q)+(-r)=q+(-q)+r+(-r)=0+0=0$$ .

1ª igualdade: propriedade comutativa da adição de números racionais.
2ª igualdade: O simétrico de $q$ é $-q$, ou seja, $q+(-q)=0$. O simétrico de $r$ é $-r$, ou seja, $r+(-r)=0$.

Assim, fica provado que,

$$-(q+r)=-q+(-r).$$

Ou então,

$$-(q+r)=-q-r.$$

2. Prova que  $-(q-r)=-q+r$, em que $q$ e $r$ são números racionais.

Podia efectuar um procedimento semelhante ao utilizado na prova do ponto 1. Mas, ao invés, vou optar por efectuar um outro procedimento.

Por meio de igualdades, podemos concluir o seguinte,

$$-(q-r)=-(q+(-r))=-q+(-(-r))=-q+r$$

1ª Igualdade: $q-r=q+(-r)$
2ª Igualdade: $-(q+r)=-q+(-r)$ (Ponto 1.)
3ª Igualdade: $-(-r)=r$

Assim fica provado que $-(q-r)=-q+r$.

Números e Operações - Desafio 3

Números e Operações - Desafio 2

Máximo Divisor Comum (Exercício)-1

O Sr. Zeferino Costa tem um terreno rectangular com 40 m de comprimento e 24 m de largura onde pretende plantar produtos hortícolas. Para distribuir os produtos de forma organizada pelo terreno ele quer dividir o terreno em parcelas quadradas iguais com a maior área possível.

1. Em quantas parcelas deve ele dividir o terreno?
2. Qual a área de cada uma das parcelas de terreno?

Algumas propriedades das operações (revisões 1º Ciclo)

1. Prova que $3 \times \frac{1}{4}=\frac{3 \times 1}{4}$.
Resolução:
Através de igualdades sucessivas, podemos concluir que,

$$3 \times \frac{1}{4}= \frac{1}{4}+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=\frac{1+1+1}{4}=\frac{3 \times 1}{4}$$
o que significa que,
$$3 \times \frac{1}{4}=\frac{3 \times 1}{4}.$$

De forma mais geral: Sejam $a$, $b$ e $n$ números naturais,
$$n \times \frac{a}{b}=\frac{n \times a}{b}.$$
 2. Prova que $5:2=\frac{5}{2}.$
Resolução:
Por outras palavras,  por definição de quociente, o que queremos provar é que
$$5=2 \times \frac{5}{2}.$$
Ora, como,
$$2 \times \frac{5}{2}=\frac{2 \times 5^{(:2)}}{2_{(:2)}}=5$$
fica provado que,
$$5=2 \times \frac{5}{2}$$
ou seja,
$$5:2=\frac{5}{2}.$$
De forma mais geral: Sejam $a$ e $b$ números naturais,
$$a:b=\frac{a}{b}.$$
3. Prova que $\frac{2}{3}:4=\frac{2}{4 \times 3}.$
Resolução:
Por outras palavras,  por definição de quociente, o que queremos provar é que
$$\frac{2}{3}= 4 \times \frac{2}{4 \times 3}$$
Ora, como,
$$4 \times \frac{2}{4 \times 3}=\frac{4 \times 2^{(:4)}}{4 \times 3_{(:4)}}=\frac{2}{3}$$
fica provado que,
$$\frac{2}{3}= 4 \times \frac{2}{4 \times 3}.$$
ou seja,
$$\frac{2}{3}:4=\frac{2}{4 \times 3}.$$
De forma mais geral: Sejam $a$, $b$ e $n$ números naturais,
$$\frac{a}{b}:n=\frac{a}{n \times b}.$$
4. Prova que $2:3= 2\times \frac{1}{3}.$
Resolução:
Por outras palavras,  por definição de quociente, o que queremos mostrar é que o número que multiplicado por $3$ dá $2$ pode ser dado por $2\times \frac{1}{3}$, ou seja,
$$3 \times \left(2 \times \frac{1}{3}\right)=2.$$
Por meio de igualdades sucessivas podemos concluir que,
$$3 \times \left(2 \times \frac{1}{3}\right)=3 \times \left(\frac{2 \times 1}{3}\right)= 3 \times \frac{2}{3}=\frac{3\times 2^{(:3)}}{3_{(:3)}}=2.$$
Assim, como queriamos provar,
$$3 \times \left(2 \times \frac{1}{3}\right)=2.$$
Ou seja,
$$2:3= 2\times \frac{1}{3}.$$
De forma mais geral: Sejam $a$ e $n$ números naturais,
$$a:n= a\times \frac{1}{n}.$$
5. Prova que $\frac{3}{7}: \frac{1}{5}= \frac{3}{7}\times 5$
Resolução:
Por outras palavras, por definição de quociente, o que queremos mostrar é que o número que multiplicado por $\frac{1}{5}$ dá $\frac{3}{7}$ pode ser dado por $\frac{3}{7}\times 5$, ou seja,
$$\frac{1}{5} \times \left(\frac{3}{7}\times 5\right)=\frac{3}{7}.$$
Por meio de igualdades sucessivas podemos concluir que,
$$\frac{1}{5} \times \left(\frac{3}{7}\times 5\right)=\frac{1}{5} \times \left(5 \times \frac{3}{7}\right)=\left(\frac{1}{5} \times 5 \right) \times \frac{3}{7}=$$
$$=\left(\frac{1}{5} \times 5 \right) \times \frac{3}{7}=\left(\frac{1\times 5}{5}\right) \times \frac{3}{7}=\left(\frac{5}{5}\right) \times \frac{3}{7}=1 \times \frac{3}{7}=\frac{3}{7}$$
Assim, como queríamos provar,
$$\frac{1}{5} \times \left(\frac{3}{7}\times 5\right)=\frac{3}{7}.$$
Ou seja,
$$\frac{3}{7}: \frac{1}{5}= \frac{3}{7}\times 5.$$
De forma mais geral: Sejam $a$, $b$ e $n$ números naturais, $$\frac{a}{b} : \frac{1}{n}=\frac{a}{b} \times n.$$
Em particular, tomando $b=1$, concluímos que,

$$a : \frac{1}{n}=a \times n.$$